Sigue esta ruta para aprender geometría de manera progresiva. Los temas están ordenados por dificultad.
El estudio de las formas, tamaños, posiciones y propiedades de las figuras en el espacio.
Lo fundamental: ángulos, figuras iguales (congruencia) y figuras proporcionales (semejanza).
Rastreo sistemático de ángulos usando paralelas, triángulos y polígonos.
Decimos que dos figuras son congruentes si son exactamente iguales en forma y tamaño.
Propiedades de las rectas que nunca se cruzan y los ángulos que forman al ser cortadas.
Los ángulos opuestos son iguales.
Área = (1/2) × base × altura.
Si dos triángulos tienen sus tres lados iguales, entonces son idénticos.
Ángulos iguales formados por una transversal.
Ángulos iguales del mismo lado de la transversal.
Si tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos también, son idénticos.
Ángulos que suman 180°.
Ángulos internos del mismo lado que suman 180°.
Si tienen dos ángulos iguales y el lado entre ellos también, son idénticos.
Los ángulos internos suman 180°.
El exterior es la suma de los interiores remotos.
Técnicas ingeniosas que usan el cálculo de áreas para resolver problemas de geometría.
Propiedades, ángulos inscritos, potencia de un punto y ejes radicales.
Ángulos inscritos, centrales y propiedades de las tangentes.
Diferentes fórmulas para calcular el área de un triángulo.
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño.
d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Intersección de medianas en razón 2:1.
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de los lados.
El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abre el mismo arco.
Basta con que dos triángulos tengan dos ángulos iguales para que sean semejantes.
Comparar áreas usando bases o vértices compartidos.
Promedio de las coordenadas de los vértices.
Un ángulo inscrito en un semicírculo siempre es un ángulo recto.
La tangente es perpendicular al radio; tangentes desde un punto externo miden lo mismo.
El central es el doble del inscrito.
Justo en el punto de tangencia.
Los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.
Los segmentos de las tangentes miden lo mismo.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 90°.
Puntos especiales: baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro.
Cuadriláteros que se pueden inscribir en un círculo.
Reflexión, rotación, traslación, homotecia e inversión.
Uso de coordenadas para resolver problemas geométricos.
Uso de identidades y leyes trigonométricas para resolver problemas geométricos.
Reflexión, rotación y traslación.
Distancia, punto medio, pendiente y ecuaciones de la recta.
a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R.
Intersección de las medianas; divide a cada una en razón 2:1 desde el vértice.
En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180°.
c² = a² + b² - 2ab cos C.
Cómo usar áreas proporcionales para resolver problemas.
Intersección de las mediatrices; equidista de todos los vértices.
Intersección de las bisectrices; es el centro del círculo inscrito.
Área = (1/2)ab sen C.
El punto que está a la misma distancia de los vértices.
Imagen espejo respecto a una recta o un punto.
Intersección de las alturas.
Poner masas en los vértices para resolver problemas.
K = (1/2)ab sen C.
El producto de las razones es igual a 1.
Intersección de las bisectrices de los ángulos.
Probar que un conjunto de puntos son concíclicos.
Girar una figura alrededor de un punto fijo.
R = abc/(4K), donde K es el área.
r = Área/s, donde s es el semiperímetro.
Área = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) donde s es el semiperímetro.
Para saber si es agudo, recto u obtuso.
Es igual al ángulo interior opuesto.
Cuando se pueden formar dos triángulos.
Cómo hallar la intersección de cevianas.
Un caso especial de Stewart.
K = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).
Dividir figuras en partes con razones conocidas.
Área usando coordenadas: (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)|.
Segmentos de tangente que miden lo mismo.
r = Área/s.
Usando el circunradio o la altura.
R = a/(2sen A).
Usando coordenadas o la altura.
mₐ² = (2b² + 2c² - a²)/4.
La masa es inversamente proporcional a la razón del segmento opuesto.
PA·PB = PC·PD.
PT² = PA·PB.
Usando razones de áreas.
a/sen A = 2R.
Las tangentes miden lo mismo.
R = abc/(4K).
PA·PB = PC·PD para cuerdas.
Probar concurrencia de medianas, alturas y bisectrices.
Es la suma de las masas de los puntos extremos.
El baricentro divide a la mediana en una razón de 2:1.
Es igual al ángulo inscrito del otro lado.
Se reduce a a² + b² = c² cuando C = 90°.
Segmentos del vértice al lado opuesto: teoremas de Ceva, Menelao y Stewart.
Geometría en tres dimensiones.
Sólidos en 3D con caras planas.
Las cevianas AD, BE y CF son concurrentes si y solo si (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA) = 1.
Para un punto P y un círculo: PA·PB es constante para cualquier cuerda que pase por P.
Parábola, elipse e hipérbola.
Para un cuadrilátero cíclico: AC·BD = AB·CD + AD·BC.
Relación para una ceviana AD: b²m + c²n - a(d² + mn) = 0.
Intersección de las alturas del triángulo.
Asignar masas a los vértices para calcular razones entre segmentos.
Foco, directriz y propiedad reflectante.
PA·PA' = PB·PB' para dos secantes desde un punto exterior P.
V - E + C = 2 para poliedros convexos.
AC·BD = AB·CD + AD·BC para cuadriláteros cíclicos.
K = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)).
Intersección de las bisectrices exteriores.
O, G y H están en la misma línea.
Puntos medios, pies de alturas y más.
El producto de razones con signo es -1.
La fórmula b²m + c²n - a(d² + mn) = 0.
Intersección de rectas entre puntos correspondientes.
La proporción OG:GH es 1:2.
El radio es exactamente R/2.
Usar senos en lugar de longitudes.
Una línea que corta los lados de un triángulo.
Razón de distancias con signo.
Focos, excentricidad y propiedad reflectante.
Propiedades de reflexión sobre el circuncírculo.
ra = Área/(s-a).
PT² = PA·PA' para una tangente PT y una secante PAA' desde P.
Para trabajar con varias cevianas a la vez.
A partir de la ley de cosenos u otros métodos.
Definición y fórmulas.
Puntos medios de los lados del triángulo.
rₐ = Área/(s-a).
El centro queda entre las figuras (razón negativa).
Demostración de que O, G y H son colineales.
La suma de las distancias es constante.
Uso de signos positivos o negativos según la dirección.
El punto donde se cruzan los tres ejes radicales.
Usando semejanza de triángulos o inversión.
r = (s-a)tan(A/2).
Es la recta perpendicular a la línea que une los centros.
Los rayos que salen del foco se reflejan paralelos.
Para calcular longitudes de diagonales y lados.
Usando vectores o semejanza de triángulos.
Para demostrar que tres puntos están en la misma línea.
Para cuadriláteros cíclicos.
El centro queda fuera de las figuras (razón positiva).
Pies de las tres alturas del triángulo.
e = c/a y su relación con la forma.
Ecuaciones de la recta tangente.
Puntos medios entre los vértices y el ortocentro.
Rectas especiales en el triángulo: recta de Euler y de Simson.
Línea que pasa por O, G y H, con la relación OG:GH = 1:2.
Escalar una figura desde un punto central (razón positiva o negativa).
Puntos en los lados son colineales si el producto de sus razones es -1.
Lugar geométrico de los puntos con la misma potencia respecto a dos círculos.
Área de un cuadrilátero cíclico: √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)).
Centros de los círculos exinscritos, uno frente a cada vértice.
Combinando rotación y escalado.
Cómo encontrar el cuarto punto a partir de tres.
Pies de las perpendiculares desde el circuncírculo.
Los lados opuestos se cortan en una misma línea.
Punto donde se cruzan los ejes radicales de tres círculos.
Fórmulas para la longitud de las diagonales.
Bisectriz del arco correspondiente.
El punto central de la semejanza espiral.
Desigualdad para cuadriláteros no cíclicos.
El resultado de aplicar varias homotecias.
Asíntotas, focos y excentricidad.
El resultado es otra homotecia o una traslación.
Hexágono inscrito en una cónica.
Se encuentra en la intersección de los círculos circunscritos.
y = ±(b/a)x para la forma estándar.
La diferencia de las distancias es constante.
También conocida como semejanza espiral.
El ángulo de rotación y el factor de escala de la transformación.
1/r = 1/rₐ + 1/r_b + 1/r_c.
Rayos que pasan por un foco se reflejan hacia el otro.
Pasa por puntos medios, pies de alturas y otros puntos clave.
Combinación de rotación y escalamiento sobre un punto.
Para un punto P en el circuncírculo, los pies de las perpendiculares a los lados son colineales.
Transformando círculos y rectas.
Correspondencia entre puntos y rectas.
Se mantiene igual bajo proyecciones.
Cuando la razón cruzada es igual a -1.
Relación con la dualidad polo-polar.
Triángulo donde cada vértice es el polo del lado opuesto.
Cuando los vértices coinciden.
Familias que comparten el mismo eje radical.
Cómo hallar el polo dada la polar.
Punto P' tal que OP·OP' = r².
El dual del teorema de Pascal.
Las rectas que pasan por el centro no cambian; las demás se vuelven círculos.
Cómo hallar la polar dado el polo.
Los círculos se transforman en otros círculos o en rectas.
La inversión mantiene la medida de los ángulos entre curvas.
Representar puntos como promedios ponderados de los vértices de un triángulo.
Círculos coaxiales, de Apolonio e incírculos mixtilíneos.
Transforma P en P' de modo que OP·OP' = r².
Los círculos se vuelven círculos o rectas según si pasan por el centro.
Razón cruzada, división armónica, polos y polares, Pascal y Brianchon.
(A,B;C,D) = (AC/BC)/(AD/BD); se mantiene bajo proyecciones.
Cuatro puntos con una razón cruzada de -1.
Dualidad entre puntos y rectas respecto a una cónica.
En un hexágono inscrito en una cónica, los lados opuestos se cortan en puntos colineales.
Un cuerpo convexo simétrico en R^n con volumen mayor a 2^n contiene un punto reticular no nulo.