Cuando se pueden formar dos triángulos.
El Caso Ambiguo surge cuando estudias triángulos y te dan las longitudes de dos lados y la medida de un ángulo que no está entre ellos (Lado-Lado-Ángulo, o LLA). A diferencia de los criterios LLL, LAL, ALA y AAL, LLA no es suficiente para asegurar la congruencia de triángulos. Si tienes los lados $a$ y $b$ y el ángulo no incluido $A$, no hay garantía de que exista un único triángulo. Dependiendo de los valores específicos, puede haber cero, uno o dos triángulos distintos que cumplan con lo que te piden.
Este concepto es clave en las matemáticas de competencia, sobre todo en el AMC 10/12 y el AIME, porque si se te pasa el segundo triángulo posible, muchas veces vas a llegar a respuestas incorrectas. La ambigüedad es intuitiva desde la geometría: imagina que el lado $b$ y el ángulo $A$ están fijos. El lado $a$ actúa como un péndulo que cuelga del vértice opuesto a $A$. Si $a$ es muy corto, nunca va a tocar la base (0 soluciones). Si $a$ mide exactamente lo necesario (la altura), toca una sola vez (1 solución). Si $a$ es más largo que la altura pero más corto que $b$, puede cruzar la base en dos puntos diferentes, creando dos triángulos distintos (uno agudo y uno obtuso).
Matemáticamente, esta ambigüedad aparece cuando usas la Ley de los Senos. Al despejar un ángulo $B$ usando $\sin B = k$, si $0 < k < 1$, hay dos soluciones para $B$ entre $0^\circ$ y $180^\circ$: un ángulo agudo $\theta$ y uno obtuso $180^\circ - \theta$. Ambas soluciones sirven siempre y cuando la suma de los ángulos del triángulo resultante no se pase de $180^\circ$.
Supón que los datos que tienes del triángulo son los lados $a$ y $b$, y el ángulo no incluido $A$ (opuesto al lado $a$). Sea $h$ la altura desde el vértice $C$ hasta el lado $c$ (la base).
La altura la calculas como: $$h = b \sin A$$
Caso 1: El ángulo $A$ es agudo ($A < 90^\circ$)
Caso 2: El ángulo $A$ es recto u obtuso ($A \ge 90^\circ$)
Aplicando la Ley de los Senos: Cuando despejas el ángulo $B$: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a}$$ Si $\sin B < 1$ y $a < b$, los dos ángulos posibles son: $$B_1 = \arcsin\left(\frac{b \sin A}{a}\right) \quad \text{y} \quad B_2 = 180^\circ - B_1$$
Aquí tienes la demostración de las condiciones para el caso ambiguo (específicamente cuando hay 2 soluciones) usando la Ley de los Cosenos. Este camino algebraico suele ser más riguroso para ver si el lado $c$ existe.
Teorema: Dados $b, a, A$ con $A < 90^\circ$, existen dos triángulos distintos si y solo si $b \sin A < a < b$.
Demostración: Sea $c$ la longitud que no conocemos del tercer lado. Por la Ley de los Cosenos en el ángulo $A$: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
Acomoda esta ecuación para que sea una cuadrática en términos de $c$: $$c^2 - (2b \cos A)c + (b^2 - a^2) = 0$$
Para que $c$ sea una longitud válida, tiene que ser un número real positivo. Revisa las raíces de esta cuadrática con la fórmula general: $$c = \frac{2b \cos A \pm \sqrt{(2b \cos A)^2 - 4(1)(b^2 - a^2)}}{2}$$ $$c = b \cos A \pm \sqrt{b^2 \cos^2 A - b^2 + a^2}$$ $$c = b \cos A \pm \sqrt{a^2 - b^2(1 - \cos^2 A)}$$ $$c = b \cos A \pm \sqrt{a^2 - (b \sin A)^2}$$
Sea el discriminante $\Delta = a^2 - (b \sin A)^2$. Nota que $h = b \sin A$. Por lo tanto, $\Delta = a^2 - h^2$.
Paso 1: Condición para raíces reales Para que $c$ sea un número real, necesitas que $\Delta > 0$. $$a^2 - h^2 > 0 \implies a > h$$ Si $a < h$, no hay soluciones reales (0 triángulos). Si $a = h$, hay una raíz repetida (1 triángulo rectángulo).
Paso 2: Condición para raíces positivas Supón que $a > h$ para que existan dos raíces reales distintas. Sean $c_1$ y $c_2$ las raíces. Por las fórmulas de Vieta:
Como $A$ es agudo, $\cos A > 0$, así que la suma de las raíces es positiva. Para tener dos triángulos válidos, necesitas que ambas raíces $c_1$ y $c_2$ sean positivas. Como su suma ya es positiva, ambas van a ser positivas si y solo si su producto es positivo. $$c_1 c_2 > 0 \implies b^2 - a^2 > 0 \implies b > a$$
Conclusión: Al combinar el Paso 1 y el Paso 2, te quedan dos valores positivos distintos para el lado $c$ (y por lo tanto dos triángulos distintos) si y solo si: $$h < a \quad \text{y} \quad a < b$$ O sea: $$b \sin A < a < b$$
Si $a \ge b$, el producto $b^2 - a^2 \le 0$, lo que significa que una raíz no es positiva (es cero o negativa) y la tienes que descartar, dejando solo 1 triángulo válido.
$\square$