Potencia de un Punto

Teoría

La potencia de un punto es un concepto fundamental en la geometría del círculo que le asigna un valor numérico a cada punto del plano con respecto a un círculo dado. Este valor captura la relación entre el punto y cualquier recta que pase por él e intersecte al círculo.

Para un punto $P$ y un círculo con centro $O$ y radio $r$, la potencia la definimos como $d^2 - r^2$, donde $d = |PO|$ es la distancia de $P$ al centro. La propiedad increíble es que este valor es igual al producto $PA \cdot PB$ para cualquier recta que pase por $P$ e intersecte al círculo en $A$ y $B$.

Propiedades clave:

• La potencia es positiva si $P$ está afuera del círculo
• La potencia es negativa si $P$ está adentro del círculo
• La potencia es cero si $P$ está sobre el círculo
• La potencia es la misma para todas las secantes que pasan por $P$

Fórmulas Clave

Definición: $$\text{pow}(P) = |PO|^2 - r^2$$

donde $O$ es el centro y $r$ es el radio.

Secante-Secante (Punto Exterior):

Si $P$ está afuera del círculo y las rectas que pasan por $P$ cortan al círculo en $A, B$ y $C, D$: $$PA \cdot PB = PC \cdot