Demostración de que O, G y H son colineales.
La Recta de Euler es un concepto fundamental en la geometría euclidiana que dice que, en cualquier triángulo que no sea equilátero, el ortocentro ($H$), el gravicentro ($G$) y el circuncentro ($O$) son colineales. A la recta que pasa por estos tres puntos la conocemos como la Recta de Euler. Esta relación resalta una simetría interna profunda en los triángulos, conectando centros que vienen de las alturas, las medianas y las mediatrices.
Entender la demostración de la Recta de Euler es clave para competencias avanzadas como el AIME y el USAMO. La demostración se apoya mucho en las propiedades del gravicentro (específicamente en cómo divide a las medianas en una razón de $2:1$) y en el concepto de homotecia (dilatación) o triángulos semejantes. Esta configuración geométrica no solo demuestra la colinealidad, sino que también establece la razón de distancia fija entre estos centros.
El truco principal en la demostración geométrica estándar es construir una semejanza entre el triángulo formado por el ortocentro y el gravicentro, y el triángulo formado por el circuncentro y el gravicentro. Este enfoque te muestra que la parte "superior" del triángulo (del vértice al ortocentro) está íntimamente ligada a la parte "inferior" (del punto medio al circuncentro) a través de un factor de escala de 2 que pasa por el grav