Razón de distancias con signo.
Una homotecia (que también puedes encontrar como semejanza central o dilatación) es una transformación geométrica definida por un centro $O$ y un número real $k$ que no es cero, al que llamamos razón de homotecia. Para cualquier punto $P$ en el plano, la homotecia $\mathcal{H}(O, k)$ lleva a $P$ a un punto $P'$ de tal forma que $O, P,$ y $P'$ son colineales, y la distancia dirigida cumple la relación vectorial $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$. La razón $k$ es lo que define tanto el factor de escala como la orientación de la imagen respecto al centro.
El signo de la razón de homotecia es fundamental en la geometría de olimpiada. Si $k > 0$, la homotecia es directa; la imagen $P'$ está en el rayo $OP$, así que se mantiene el orden de los puntos respecto al centro. Si $k < 0$, la homotecia es inversa (u opuesta); la imagen $P'$ está en el rayo opuesto a $OP$, lo que básicamente hace que el punto se refleje a través del centro $O$ al mismo tiempo que cambia de tamaño. Si tienes una razón de $k = -1$, eso es simplemente una simetría central respecto a $O$.
Las homotecias son herramientas muy potentes en competencias como el AIME y la USAMO porque llevan figuras a otras figuras semejantes, y mantienen los