El centro queda fuera de las figuras (razón positiva).
Una homotecia es una transformación de semejanza que mapea figuras en figuras similares, ya sea agrandándolas o achicándolas respecto a un punto fijo que llamamos centro de homotecia. Cuando tienes dos círculos que no son concéntricos (o figuras geométricas similares que están alineadas), normalmente hay dos centros de homotecia: el centro interno y el centro externo. El Centro de Homotecia Externo es el que tiene una razón de escala positiva ($k > 0$). Geométricamente, este centro vive en la línea que une los centros de las dos figuras y lo encuentras fuera del segmento que los conecta (siempre que las figuras no sean del mismo tamaño).
Para dos círculos con radios diferentes, el centro de homotecia externo es el punto donde se cortan sus tangentes externas comunes. Si una homotecia con centro en $P$ y razón $k$ mapea el círculo $\omega_1$ al círculo $\omega_2$, entonces para cualquier punto $A$ en $\omega_1$, la imagen $A'$ en $\omega_2$ queda en el rayo $PA$, y la tangente en $A$ es paralela a la tangente en $A'$. Como la razón es positiva, la parte "de arriba" de un círculo pasa a ser la parte "de arriba" del otro; esto mantiene la orientación de la figura sin rotarla ni reflejarla.
Este concepto es una herramienta muy poderosa en la geometría de olimpiada, sobre todo en problemas que tienen que ver con colinealidad y concurrencia. Es la base del Teorema de Monge (o Teorema de D'Alembert), que dice que para tres círculos de distintos tamaños y que no se enciman, los tres centros de homotecia externos son colineales. Identificar el centro externo te permite simplificar una configuración de dos círculos a una relación que solo involucra un punto y una razón, lo que facilita los cálculos de distancias y ayuda a encontrar cuadriláteros cíclicos formados por los puntos de intersección.
Considera dos círculos definidos por sus centros y radios: $\omega_1(O_1, r_1)$ y $\omega_2(O_2, r_2)$, con $r_1 \neq r_2$. Sea $H$ el centro de homotecia externo que mapea $\omega_1$ a $\omega_2$.
1. Razón de Homotecia La razón de homotecia $k$ es simplemente la razón de los radios: $$k = \frac{r_2}{r_1}$$ Como la homotecia es externa, $k > 0$.
2. Relación de Distancia El centro $H$ está en la línea $O_1O_2$ de tal forma que: $$\frac{HO_2}{HO_1} = \frac{r_2}{r_1}$$ Esto significa que $H$ divide al segmento $O_1O_2$ externamente en la razón $r_1 : r_2$.
3. Fórmula Vectorial o de Coordenadas Si usas los vectores de los centros $O_1$ y $O_2$ (o sus coordenadas en el plano), el vector de posición del centro externo $H$ lo calculas con la fórmula de división externa: $$\vec{H} = \frac{r_1 \vec{O_2} - r_2 \vec{O_1}}{r_1 - r_2}$$
4. Teorema de Monge (Tres Círculos) Dados tres círculos con radios $r_1, r_2, r_3$, toma $H_{12}, H_{23}, H_{31}$ como los centros de homotecia externos para los pares $(\omega_1, \omega_2)$, $(\omega_2, \omega_3)$ y $(\omega_3, \omega_1)$ respectivamente. Entonces: $$H_{12}, H_{23} \text{ y } H_{31} \text{ son colineales.}$$
Teorema: El punto donde se cortan las tangentes externas comunes de dos círculos de distinto tamaño está en la línea que une sus centros y divide la distancia entre los centros externamente en la razón de sus radios.
Demostración: Toma $\omega_1$ como un círculo con centro $O_1$ y radio $r_1$, y $\omega_2$ como un círculo con centro $O_2$ y radio $r_2$. Supón, para no complicarnos, que $r_1 > r