Rotación

Teoría

La rotación es una transformación rígida (isometría) en el plano que gira una figura alrededor de un punto fijo, conocido como el centro de rotación, por un ángulo específico y en una dirección específica. Por convención, los ángulos positivos indican una rotación en sentido antihorario, mientras que los ángulos negativos indican una rotación en sentido horario. Como la rotación es una isometría, preserva las distancias entre puntos y los ángulos entre rectas. Por lo tanto, una figura y su imagen bajo una rotación son congruentes.

En las matemáticas de competencia, la rotación es una herramienta poderosa para simplificar configuraciones geométricas complejas, especialmente las que involucran polígonos regulares, triángulos equiláteros o cuadrados. La clave suele estar en identificar un "punto pivote" y un ángulo que mapee un segmento sobre otro de la misma longitud. Por ejemplo, si un problema tiene dos segmentos $AB$ y $AC$ tales que $AB=AC$ y $\angle BAC = 60^\circ$, rotar toda la figura $60^\circ$ alrededor del punto $A$ va a mapear $B$ a $C$. Esta técnica puede agrupar de forma efectiva información que está dispersa, transformando un problema de segmentos separados en uno sobre un solo polígono conectado, lo que a menudo revela puntos colineales o cuadriláteros cíclicos que no eran obvios al principio.

Los números complejos ofrecen un marco algebraico excepcionalmente elegante para manejar rotaciones. Mientras que la geometría analítica requiere operaciones con matrices, los números complejos permiten tratar la rotación como una multiplicación. Esto es particularmente útil en el AMC 12 y el AIME, donde los problemas pueden involucrar rotar puntos alrededor de centros que no son el origen. Entender tanto la perspectiva sintética (construcción geométrica) como la analítica (coordenadas/números complejos) es esencial para resolver problemas de alto nivel.

Fórmulas Clave

1. Geometría Analítica (Rotación sobre el origen) Si rotas un punto $P(x, y)$ en sentido antihorario por un ángulo $\theta$ sobre el origen $(0,0)$ hasta un punto $P'(x', y')$, las coordenadas son: $$ \begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} $$ O de forma explícita: $$ x' = x \cos \theta - y \sin \theta $$ $$ y' = x \sin \theta + y \cos \theta $$

2. Geometría Analítica (Rotación sobre un punto arbitrario) Para rotar un punto $(x, y)$ sobre un centro $(h, k)$ por un ángulo $\theta$, traslada el centro al origen, rota y luego traslada de regreso: $$ x' = (x - h) \cos \theta - (y - k) \sin \theta + h $$ $$ y' = (x - h) \sin \theta + (y - k) \cos \theta + k $$

3. Números Complejos En el plano complejo, logras la rotación multiplicando por una exponencial compleja.

• Rotación sobre el origen: Si $z$ es un número complejo que representa un punto, al rotar $z$ por $\theta$ obtienes $z'$: $$z' = z \cdot e^{i\theta} = z(\cos \theta + i \sin \theta)$$
• Rotación sobre un centro $c$: Si rotas $z$ sobre un número complejo $c$ por un ángulo $\theta$: $$z' - c = (z - c)e^{i\theta} \implies z' = c + (z - c)e^{i\theta}$$

4. Ángulos Comunes

• Rotación de $90^\circ$ de $(x, y)$ sobre el origen: $(-y, x)$
• Rotación de $180^\circ$ de $(x, y)$ sobre el origen: $(-x, -y)$ (Reflexión de punto)
• Rotación de $270^\circ$ (o $-90^\circ$) de $(x, y)$ sobre el origen: $(y, -x)$

Demostración

Teorema: Las coordenadas del punto $P(x, y)$ rotado por un ángulo $\theta$ en sentido antihorario sobre el origen son $(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$.

Demostración: Usa coordenadas polares para obtener la transformación.

1. Convierte a coordenadas polares: Supón que el punto inicial $P$ tiene coordenadas $(x, y)$. Puedes representar a $P$ en términos de su distancia $r$ al origen y el ángulo $\phi$ que forma con el eje $x$ positivo. $$x = r \cos \phi$$ $$y = r \sin \phi$$ Aquí, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.

2. Aplica la rotación: Rota el punto $P$ en sentido antihorario por un ángulo $\theta$ para llegar al punto $P'(x', y')$. La distancia al origen sigue siendo $r$, pero el nuevo ángulo con el eje $x$ positivo ahora es $(\phi + \theta)$.

3. Determina las nuevas coordenadas: Usa la definición de seno y coseno para el nuevo ángulo: $$x' = r \cos(\phi + \theta)$$ $$y' = r \sin(\phi + \theta)$$

4. Expande usando las fórmulas de suma trigonométrica: Recuerda las identidades de suma de ángulos: $$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$ $$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

   Al sustituir esto en las expresiones para $x'$ y $y'$: $$x' = r(\cos \phi \cos \theta - \sin \phi \sin \theta)$$ $$y' = r(\sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta)$$

5. Sustituye las coordenadas originales: Distribuye $r$ en las ecuaciones: $$x' = (r \cos \phi) \cos \theta - (r \sin \phi) \sin \theta$$ $$y' = (r \sin \phi) \cos \theta + (r \cos \phi) \sin \theta$$

   Como $x = r \cos \phi$ y $y = r \sin \phi$, sustituye $x$ y $y$ de vuelta en las ecuaciones: $$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$$ $$y' = y \cos \theta + x \sin \theta = x \sin \theta + y \cos \theta$$

Así, queda establecida la fórmula. $\square$