Fórmula del Circunradio

Teoría

El circunradio ($R$) es el radio del circuncírculo, que es el único círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo. Aunque la ubicación geométrica del circuncentro es la intersección de las mediatrices de los lados, calcular el radio usando puramente geometría analítica o construcciones puede ser muy pesado. La fórmula del circunradio, $R = \frac{abc}{4K}$, te da un vínculo algebraico directo entre las propiedades intrínsecas del triángulo —sus longitudes de los lados ($a, b, c$) y su área ($K$)— y la geometría de su circuncírculo.

Esta fórmula aparece en todos lados en las competencias de matemáticas, especialmente en el AMC 10/12 y el AIME, porque te permite calcular $R$ sin tener que calcular ningún ángulo. Es súper útil cuando la combinas con la Fórmula de Herón, que te deja calcular el área $K$ teniendo solo las medidas de los lados. Intuitivamente, esta relación sugiere que para un conjunto fijo de lados, un área más pequeña implica un circunradio más grande (un triángulo más "flaco" necesita un círculo más grande para abarcar sus vértices), mientras que un área más grande (más cercana a un equilátero) resulta en un circuncírculo más ajustado.

Fórmulas Clave

La fórmula principal que relaciona los lados $a, b, c$, el área $K$ y el circunradio $R$ es: $$R = \frac{abc}{4K}$$

Esta fórmula está íntimamente relacionada con la Ley de Senos Extendida. Para un triángulo con ángulos $A, B, C$ opuestos a los lados $a, b, c$: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Casos Especiales:

• Triángulo Rectángulo: Si el triángulo es rectángulo con hipotenusa $c$, el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. Por lo tanto: $$R = \frac{c}{2}$$
• Triángulo Equilátero: Para un lado de longitud $s$: $$R = \frac{s}{\sqrt{3}}$$

Demostración

Para obtener la fórmula $R = \frac{abc}{4K}$, la idea es combinar la fórmula estándar del área que usa el seno de un ángulo con la Ley de Senos Extendida.

Paso 1: Expresa el área usando el seno de un ángulo. Recuerda la fórmula trigonométrica para el área $K$ de $\triangle ABC$: $$K = \frac{1}{2}bc \sin A$$

Paso 2: Expresa $\sin A$ usando el circunradio. Según la Ley de Senos Extendida, la razón entre un lado y el seno de su ángulo opuesto es igual al diámetro del circuncírculo ($2R$). $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$ Si despejas $\sin A$, obtienes: $$\sin A = \frac{a}{2R}$$

Paso 3: Sustituye y despeja $R$. Sustituye la expresión de $\sin A$ del Paso 2 en la fórmula del área del Paso 1: $$K = \frac{1}{2}bc \left( \frac{a}{2R} \right)$$ $$K = \frac{abc}{4R}$$

Al reacomodar la ecuación para despejar $R$, llegas al resultado que buscabas: $$R = \frac{abc}{4K}$$

$\square$