Definición y fórmulas.
La definición geométrica de una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo, al que le decimos foco, y de una recta fija, llamada directriz. Aunque es común que primero te encuentres con las parábolas como las gráficas de funciones cuadráticas ($y=ax^2+bx+c$), la definición de foco-directriz es más fundamental en la geometría. Esta definición te da la conexión entre la ecuación algebraica y las propiedades geométricas de la curva. El vértice de la parábola está justo a la mitad entre el foco y la directriz.
Entender esta definición es clave para resolver problemas de competencia que involucran lugares geométricos, distancias y cónicas rotadas. En el contexto del AMC 12 y el AIME, los problemas te suelen presentar una parábola no por su ecuación, sino por las coordenadas de su foco y la ecuación de su directriz. Esta definición también es la base de la propiedad reflectante de las parábolas: los rayos de luz que viajan paralelos al eje de simetría rebotan en la parábola y pasan por el foco.
El parámetro $p$, al que le decimos distancia focal, representa la distancia dirigida desde el vértice hasta el foco. El "ancho" geométrico de la parábola depende totalmente de $p$. Un $|p|$ pequeño te da una parábola estrecha y cerrada (el foco está cerca de la directriz), mientras que un $|p