Círculos

Teoría

Los círculos son objetos fundamentales en la geometría euclidiana; los definimos como el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un centro fijo. En las matemáticas de competencia, los círculos sirven como puente entre las medidas de ángulos y las longitudes de segmentos. Mientras que los problemas introductorios se enfocan en la circunferencia y el área, la geometría de nivel Olimpiada se apoya mucho en las propiedades de los ángulos subtendidos por arcos, cuadriláteros cíclicos y relaciones métricas. Estudiar círculos te permite hacer "angle chasing" (persecución de ángulos), una técnica que usas para determinar ángulos desconocidos moviéndote por la circunferencia, y te da la base para definir el circuncírculo de un triángulo, que es crucial para entender los centros del triángulo.

Un concepto clave en la teoría avanzada de círculos es la Potencia de un Punto. Esta relación métrica cuantifica la posición de un punto respecto a un círculo y unifica teoremas sobre cuerdas que se cortan, secantes y tangentes. Transforma configuraciones geométricas en ecuaciones algebraicas ($PA \cdot PB = \text{constante}$), lo que te permite calcular longitudes que de otra forma serían difíciles de determinar. Este concepto se extiende al Eje Radical, el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a dos círculos. El eje radical es una línea recta perpendicular a la línea que conecta los centros de los círculos.

Dominar los círculos requiere entender la interacción entre la simetría y la semejanza. El Teorema del Ángulo Inscrito implica que la ubicación de un punto en un arco no cambia el ángulo que subtiende, dándote un grado de libertad que se aprovecha mucho en las demostraciones. Además, el teorema de la Potencia de un Punto revela que los círculos generan triángulos semejantes de forma natural. Reconocer estas semejanzas ocultas suele ser la clave para resolver problemas complejos en competencias como el AIME y la USAMO.

Fórmulas Clave

1. Ángulos y Arcos

• Teorema del Ángulo Inscrito: Para un ángulo $\psi$ inscrito en un círculo que subtiende un arco $\theta$: $$ \psi = \frac{1}{2}\theta $$ Por lo tanto, los ángulos que subtienden el mismo arco son iguales.
• Cuadriláteros Cíclicos: Un cuadrilátero $ABCD$ es cíclico (sus vértices están en un círculo) si y solo si sus ángulos opuestos suman $180^\circ$ o si $\angle DAC = \angle DBC$.

2. Potencia de un Punto Imagina que el punto $P$ está en una línea que corta a un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $R$ en los puntos $A$ y $B$. La potencia del punto $P$ respecto a $\omega$ la definimos como: $$ \mathcal{P}(P) = d^2 - R^2 $$ donde $d = OP$.

• Cuerdas que se cortan (P adentro): Si las cuerdas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$: $$ PA \cdot PB = PC \cdot PD $$
• Secante-Secante (P afuera): Si las secantes $PAB$ y $PCD$ cortan al círculo en $A, B$ y $C, D$ respectivamente: $$ PA \cdot PB = PC \cdot PD $$
• Tangente-Secante: Si $PT$ es tangente al círculo en $T$ y $PAB$ es una secante: $$ PT^2 = PA \cdot PB $$

3. Teorema de Ptolemy Para un cuadrilátero cíclico con lados de longitud $a, b, c, d$ y diagonales $p, q$: $$ ac + bd = pq $$

4. Eje Radical El eje radical de dos círculos no concéntricos es el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que la potencia de $P$ respecto a ambos círculos es igual.

• Si los círculos se cortan en $A$ y $B$, el eje radical es la línea $AB$.
• Los ejes radicales de tres círculos (con centros no colineales) se cortan en un solo punto llamado Centro Radical.

Demostración

Teorema: Potencia de un Punto (Caso de cuerdas que se cortan)

Enunciado: Supón que dos cuerdas $AB$ y $CD$ de un círculo se cortan en un punto interior $P$. Entonces $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Demostración:

1. Construye Segmentos: Dibuja los segmentos $AC$ y $BD$. Ahora considera los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$.

2. Identifica Ángulos Iguales:

   • Mira los ángulos $\angle CAP$ y $\angle BDP$. Estos dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco $CB$. Por el Teorema del Ángulo Inscrito: $$ \angle CAP = \angle CAB = \angle CDB = \angle BDP $$
   • Mira los ángulos $\angle APC$ y $\angle DPB$. Estos son ángulos opuestos por el vértice formados por la intersección de las líneas $AB$ y $CD$. Por lo tanto: $$ \angle APC = \angle DPB $$

3. Establece la Semejanza: Como dos ángulos de $\triangle APC$ son iguales a dos ángulos de $\triangle DPB$, los triángulos son semejantes por el criterio de semejanza AA (Ángulo-Ángulo): $$ \triangle APC \sim \triangle DPB $$

4. Plantea las Razones: Como los triángulos son semejantes, las razones de las longitudes de sus lados correspondientes son iguales. Nota que el vértice $A$ corresponde al $D$, y el vértice $C$ corresponde al $B$. Así que: $$ \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} $$

5. Manipulación Algebraica: Al multiplicar de forma cruzada los términos de la proporción, obtienes: $$ PA \cdot PB = PC \cdot PD $$

Esto demuestra el teorema para un punto interior. (Una demostración casi idéntica usando $\triangle PAC \sim \triangle PDB$ establece el caso Secante-Secante donde $P$ está afuera del círculo).

$\square$