Demostración de la Ley de Cosenos

Teoría

La Ley de Cosenos es un teorema fundamental en la geometría euclidiana que sirve como una generalización del Teorema de Pitágoras para triángulos que no son rectángulos. Establece una relación algebraica precisa entre las longitudes de los tres lados de un triángulo y el coseno de uno de sus ángulos. Mientras que el Teorema de Pitágoras dice que $a^2 + b^2 = c^2$ específicamente cuando el ángulo entre los lados $a$ y $b$ es de $90^\circ$, la Ley de Cosenos introduce un "término de corrección", $-2ab \cos C$, que ajusta la ecuación para ángulos agudos u obtusos.

Este teorema es indispensable en las matemáticas de competencia, especialmente en las series AMC y AIME, para "resolver un triángulo" — es decir, determinar lados o ángulos desconocidos cuando tienes información de Lado-Ángulo-Lado (LAL) o Lado-Lado-Lado (LLL). De forma intuitiva, si el ángulo $C$ es agudo ($\cos C > 0$), el lado opuesto $c$ es más corto que la hipotenusa del triángulo rectángulo correspondiente, así que el término $-2ab \cos C$ le resta a la suma de los cuadrados. Por el contrario, si $C$ es obtuso ($\cos C < 0$), el término se vuelve positivo, lo que refleja que el lado $c$ es más largo de lo que sería la hipotenusa.

Fórmulas Clave

Para un triángulo con vértices $A, B, C$ y longitudes de lados opuestos $a, b, c$ respectivamente, la Ley de Cosenos dice:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Por permutación cíclica, la fórmula aplica para cualquier ángulo: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

Es muy común reacomodar la fórmula para despejar un ángulo dadas las longitudes de los tres lados: $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Caso Especial: Si $C = 90^\circ$, entonces $\cos C = 0$, y la fórmula se reduce al Teorema de Pitágoras: $$c^2 = a^2 + b^2$$

Demostración

Vas a demostrar la Ley de Cosenos usando geometría analítica. Este método es muy útil porque maneja ángulos agudos, rectos y obtusos al mismo tiempo sin necesidad de separar por casos según si la altura cae dentro o fuera del triángulo.

Configuración: Considera un triángulo $ABC$ con longitudes de lado $a, b, c$ opuestas a los vértices $A, B, C$ respectivamente. Pon el triángulo en el plano cartesiano de la siguiente forma:

1. Pon el vértice $C$ en el origen $(0,0)$.
2. Alinea el lado $b$ (el segmento $CA$) a lo largo del eje $x$ positivo.

Coordenadas de los Vértices:

• Las coordenadas del vértice $C$ son $(0,0)$.
• Como el lado $b$ está sobre el eje $x$ y tiene longitud $b$, las coordenadas del vértice $A$ son $(b, 0)$.
• Toma a $\theta$ como la medida del ángulo $C$. Las coordenadas del vértice $B$ están determinadas por la longitud del lado $a$ y el ángulo $\theta$. Por la definición de seno y coseno en el círculo unitario (escalado por $a$), las coordenadas de $B$ son $(a \cos \theta, a \sin \theta)$. Nota que en la notación estándar, $\theta = C$.
  • $B = (a \cos C, a \sin C)$

Calculando el Lado $c$: El lado $c$ es la distancia entre el vértice $A$ y el vértice $B$. Aplica la fórmula de distancia: $$c = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: $$c^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$

Sustituye las coordenadas $A = (b, 0)$ y $B = (a \cos C, a \sin C)$: $$c^2 = (a \cos C - b)^2 + (a \sin C - 0)^2$$

Expansión y Simplificación: Desarrolla los términos al cuadrado: $$c^2 = (a^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + b^2) + (a^2 \sin^2 C)$$

Agrupa los términos que contienen $a^2$: $$c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab \cos C$$

Aplica la identidad trigonométrica pitagórica $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$: $$c^2 = a^2(1) + b^2 - 2ab \cos C$$

Conclusión: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

$\square$