Inversión

Teoría

La inversión es una transformación geométrica que "voltea el plano de adentro hacia afuera" con respecto a un círculo específico, conocido como el círculo de inversión. Si tienes un centro $O$ y un radio $r$, la inversión de un punto $P$ (distinto de $O$) es el punto $P'$ que se encuentra en el rayo $OP$ de tal manera que el producto de sus distancias al centro es constante: $OP \cdot OP' = r^2$. Los puntos dentro del círculo de inversión los mandas hacia afuera, los puntos de afuera los mandas hacia adentro, y los puntos en la circunferencia se quedan fijos. Al centro $O$ normalmente lo mandas al punto al infinito.

Esta técnica es fundamental en la geometría avanzada de olimpiadas (USAMO/IMO) porque simplifica configuraciones complejas que involucran círculos tangentes y ángulos. La inversión es un mapeo conforme, lo que significa que preserva la magnitud de los ángulos entre curvas, aunque invierte su orientación. Su propiedad más poderosa es la capacidad de transformar círculos que pasan por el centro de inversión en líneas rectas (y viceversa). Esto te permite transformar problemas difíciles sobre cuadriláteros cíclicos o círculos tangentes (como los problemas de Apollonius o las cadenas de Steiner) en problemas mucho más sencillos que involucran líneas y homotecias.

De forma intuitiva, puedes ver la inversión como una reflexión a través de un "espejo circular". Así como la reflexión sobre una