Transformando círculos y rectas.
La inversión es una transformación geométrica poderosa que actúa como una reflexión sobre un círculo; básicamente "voltea el plano de adentro hacia afuera". Si tienes un círculo fijo $\omega$ con centro $O$ y radio $R$, la inversión de un punto $P$ (que no sea $O$) es el punto $P'$ que está en el rayo $OP$ de tal forma que el producto de sus distancias al centro es constante: $OP \cdot OP' = R^2$. A $O$ le decimos centro de inversión, y a $R$ radio de inversión. Con esta transformación, los puntos que están cerca de $O$ se van a puntos muy lejanos (tendiendo al infinito), mientras que los puntos lejos de $O$ se acercan al centro. Los puntos en la circunferencia de $\omega$ se quedan fijos.
Esta técnica es fundamental en la geometría de olimpiada porque simplifica configuraciones complejas con círculos y líneas tangentes. La inversión tiene la propiedad increíble de mapear "círculos generalizados" (líneas y círculos) a otros círculos generalizados. Específicamente, puede transformar círculos que pasan por el centro de inversión en líneas rectas, y al revés. Esto te permite transformar problemas difíciles con varios círculos tangentes (como las cadenas de Steiner o los problemas de Apollonius) en configuraciones más sencillas con líneas rectas, donde es más fácil demostrar cosas como colinealidad o