Usando vectores o semejanza de triángulos.
La Recta de Euler es un concepto fundamental en la geometría del triángulo. Dice que para cualquier triángulo que no sea equilátero, el circuncentro ($O$), el gravicentro ($G$) y el ortocentro ($H$) son colineales. A la recta que pasa por estos tres puntos la llamamos la Recta de Euler. Una propiedad crítica de esta configuración es la razón de distancia específica entre estos centros: el gravicentro siempre está entre el circuncentro y el ortocentro, dividiendo el segmento $OH$ en una razón de $1:2$ de tal forma que $GH = 2OG$.
Esta relación es esencial en geometría analítica y en problemas de Olimpiada porque te permite determinar la ubicación de uno de estos centros si ya conoces los otros dos. Por ejemplo, en problemas de geometría con coordenadas, si te dan las coordenadas del circuncentro y del ortocentro, puedes encontrar las coordenadas del gravicentro de inmediato usando la fórmula de división de segmentos. Además, este teorema te da una visión profunda de la simetría estructural de un triángulo; el gravicentro actúa como un centro de homotecia con una razón de $-1/2$ que mapea el triángulo a su triángulo medial y, por consecuencia, el ortocentro al circuncentro.
Para un triángulo con circuncentro $O$, gravicentro $G$ y ortocentro $H$:
Razón Escalar: