Teorema de Brianchon

Teoría

El Teorema de Brianchon es un resultado fundamental de la geometría proyectiva que trata sobre hexágonos circunscritos a una sección cónica. Básicamente, dice que si tienes cualquier hexágono circunscrito a una cónica (como un círculo, elipse, parábola o hipérbola), las tres diagonales que conectan los vértices opuestos van a ser concurrentes. A este punto de concurrencia lo llamamos normalmente el punto de Brianchon. Aunque el teorema funciona para cualquier cónica, en los problemas de olimpiada de geometría lo vas a encontrar más seguido en hexágonos circunscritos a una circunferencia (o sea, hexágonos tangenciales).

Este teorema es el dual proyectivo del Teorema de Pascal. En geometría proyectiva, el principio de dualidad dice que puedes traducir los teoremas que usan puntos y rectas a sus versiones duales si intercambias los roles de puntos y rectas (y por consecuencia, colinealidad y concurrencia). Mientras que el Teorema de Pascal trata sobre un hexágono inscrito y la colinealidad de los puntos donde se cortan los lados opuestos, el Teorema de Brianchon trata sobre un hexágono circunscrito y la concurrencia de las rectas que unen los vértices opuestos.

El Teorema de Brianchon es una herramienta súper poderosa para demostrar que varias rectas pasan por el mismo punto en configuraciones geométricas