Sigue esta ruta para aprender álgebra de manera progresiva. Los temas están ordenados por dificultad.
El estudio de símbolos matemáticos y las reglas para manipularlos, incluyendo ecuaciones, desigualdades, polinomios y funciones.
Cómo resolver ecuaciones de varios tipos, como lineales, cuadráticas, polinomiales y sistemas.
Ecuaciones de la forma ax + b = c, incluyendo una sola variable y despejes sencillos.
Despejar variables y resolver ax + b = c.
Pasar problemas de palabras a ecuaciones lineales.
Patrones en listas ordenadas de números y cómo sumarlos.
Listas de números con una diferencia constante: a_n = a_1 + (n-1)d.
Listas de números con una razón constante: a_n = a_1 · r^(n-1).
Varias ecuaciones lineales que se resuelven al mismo tiempo usando sustitución, eliminación o matrices.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0, que se resuelven factorizando, completando el cuadrado o con la fórmula general.
Resolver sistemas despejando una variable en términos de otra para luego sustituirla.
Resolver ecuaciones cuadráticas factorizándolas en la forma (ax + b)(cx + d) = 0.
Usar a + (n-1)d para encontrar términos específicos.
Usar n(a1 + an)/2 o n(2a + (n-1)d)/2 para sumar.
Resolver sistemas sumando o restando ecuaciones para eliminar variables fácilmente.
El término medio es el promedio de sus vecinos.
x² ≥ 0 para todo x real; la base de casi todas las desigualdades y del método SOS.
Suma y producto de raíces.
(a+b)/2 ≥ √(ab).
Establecer y demostrar relaciones entre cantidades usando diversas técnicas de desigualdad.
Teoría y manejo de expresiones polinomiales y sus raíces.
Técnicas fundamentales como MA-MG, la desigualdad trivial y la desigualdad del triángulo.
Conceptos clave como las fórmulas de Vieta y los teoremas del factor y del residuo.
Sumas o productos ingeniosos donde casi todos los términos se cancelan entre sí.
La media aritmética es siempre mayor o igual a la media geométrica para números no negativos.
Sumar y restar números en la forma a + bi.
Relaciones entre los coeficientes de un polinomio y la suma y producto de sus raíces.
Cómo sumar infinitos términos: Suma = a/(1-r) cuando |r| < 1.
Si P(a) = 0, entonces (x - a) es un factor de P(x).
Reescribir cuadráticas como a(x - h)² + k para resolverlas o analizar su forma de vértice.
Al dividir P(x) entre (x - a), el residuo es simplemente P(a).
Multiplicar números complejos usando la distributiva.
Usar b² - 4ac para saber qué tipo de raíces tiene una cuadrática y cuántas son.
Dividir multiplicando por el conjugado.
Sumas que se colapsan hasta quedar solo los extremos.
Propiedades de z* y del producto z·z*.
La relación clásica |a + b| ≤ |a| + |b| y su variante |a - b| ≥ ||a| - |b||.
El caso básico (a + b)/2 ≥ √(ab), donde la igualdad ocurre cuando a = b.
Para ax² + bx + c = 0: la suma de raíces es -b/a y el producto es c/a.
Si f(a) = 0, entonces (x-a) | f(x).
f(x) mod (x-a) = f(a).
Media aritmética ≥ media geométrica para n términos.
La igualdad se cumple si todos los términos son iguales.
Números de la forma a + bi, donde i es la raíz cuadrada de -1.
Operaciones básicas: suma, multiplicación, división y el uso de conjugados.
Herramientas potentes como Cauchy-Schwarz, reordenamiento y Chebyshev.
Sucesiones donde cada término depende de los anteriores.
Ecuaciones que involucran polinomios de grado 3 o mayor.
Encontrar posibles raíces racionales p/q donde p divide al término constante y q al coeficiente principal.
(Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²), una de las desigualdades más poderosas y versátiles que existen.
Descomponer fracciones para que los términos se cancelen.
Pasar de la forma a+bi a r(cosθ + i senθ).
Usar (r cis θ)^n = r^n cis(nθ) para calcular potencias.
Usar |z - w| como la distancia en el plano complejo.
Productos que se simplifican al cancelar términos.
Multiplicar por cis(θ) para rotar un número un ángulo θ.
Relación entre las medias: cuadrática ≥ aritmética ≥ geométrica ≥ armónica.
Multiplicar magnitudes y sumar ángulos.
Hallar todas las raíces n-ésimas de 1.
Dividir magnitudes y restar ángulos.
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Si una función continua toma dos valores, toma todos los valores intermedios.
f(x) = a^x.
f(x) = x^c para x > 0.
f(x) = cx para x racional.
(Σaibi)² ≤ (Σai²)(Σbi²).
1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1).
Aplicación directa de la fórmula (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²).
f(x) = c·log(x).
Relaciones para la suma, los productos de dos en dos y el producto de las tres raíces.
El caso general para n números no negativos, muy útil con agrupaciones estratégicas.
A partir de f(xy) = f(x) + f(y).
Cómo hallar el residuo ax + b.
Si es continua, f(x) = cx.
A partir de f(x+y) = f(x)f(y).
Raíces repetidas y derivadas.
Polinomios simétricos elementales.
Vértices de polígonos regulares en el círculo unitario.
Se da la igualdad cuando ai/bi es constante.
El arte de encontrar funciones que cumplan con ciertas reglas o relaciones.
Ecuaciones de Cauchy y técnicas básicas de sustitución de valores.
Polinomios simétricos, identidades de Newton, interpolación y polinomios especiales.
Representar números complejos usando ángulos y distancias: z = r·e^(iθ).
Una fórmula poderosa para elevar números complejos a cualquier potencia.
Las n soluciones de la ecuación z^n = 1, repartidas en el círculo unitario.
f(x + y) = f(x) + f(y), cuyas soluciones son f(x) = cx bajo ciertas condiciones.
Polinomios que no cambian aunque intercambies sus variables.
Los valores e^(2πik/n) que dividen el círculo en n partes iguales.
Sucesiones tipo Fibonacci, resueltas mediante su ecuación característica.
Una suma es máxima cuando las secuencias se ordenan igual, y mínima cuando se ordenan opuestas.
f(xy) = f(x)f(y), con soluciones como f(x) = x^c o f(x) = 0.
f(xy) = f(x) + f(y), donde la solución típica es f(x) = c·log(x).
Para secuencias ordenadas: n·Σaᵢbᵢ ≥ (Σaᵢ)(Σbᵢ) o ≤ dependiendo de cómo se ordenen.
Cómo construir polinomios que pasen exactamente por puntos dados.
Hallar las n soluciones de la ecuación z^n = w.
Describir curvas usando ecuaciones complejas.
f(x + y) = f(x)f(y), donde la solución suele ser f(x) = a^x.
M_r ≤ M_s para r < s, donde M_r es la media de potencia r. Generaliza la cadena MC-MA-MG-MH.
Obtener fórmulas para sen(nθ) y cos(nθ).
Sustituir valores estratégicos para descubrir propiedades de la función.
Escribir como suma de cuadrados.
Raíces ζ donde ζ^k ≠ 1 para k < n.
|z - a| = r describe un círculo.
Expresiones para sen(nθ) y cos(nθ).
Σ(aᵢ²/bᵢ) ≥ (Σaᵢ)²/(Σbᵢ), súper útil para resolver sumas de fracciones.
Re(az + b) = 0 y formas relacionadas.
Cómo manejar (n+a)^k en el denominador.
xⁿ(x-y)(x-z) + cíclica ≥ 0.
Soluciones f(x) = x^c o f(x) = |x|^c.
|z - a| = |z - b| es la mediatriz.
Versión con pesos: w₁a₁ + ... + wₙaₙ ≥ a₁^w₁ ... aₙ^wₙ donde la suma de los pesos es 1.
x², eˣ, ln(x), sen(x) en intervalos.
Fórmulas generales para polinomios de cualquier grado usando funciones simétricas elementales.
Sumas de potencias a partir de simétricos elementales.
Uso de inyectividad, suprayectividad, puntos fijos y monotonía para resolverlas.
Temas avanzados como las desigualdades de Jensen, Hölder, Minkowski, Schur y Muirhead.
Usar el plano complejo como una herramienta poderosa para resolver problemas geométricos.
Para f convexa: f(Σwᵢxᵢ) ≤ Σwᵢf(xᵢ). Se invierte si la función es cóncava.
Cómo demostrar que una función es uno a uno a partir de su ecuación.
Relaciones entre las sumas de potencias y los polinomios simétricos elementales.
Cómo demostrar que una función es sobre a partir de su ecuación.
Raíces que generan a todas las demás raíces n-ésimas al elevarlas a potencias.
Encontrar y aprovechar los valores donde la función se queda igual: f(x) = x.
Deducir o usar el hecho de que una función siempre crece o siempre decrece.
Una desigualdad clásica para variables no negativas, muy útil en problemas de olimpiada.
La desigualdad de Karamata generaliza la desigualdad de Jensen usando el concepto de mayorización.
Técnica para desigualdades simétricas donde el extremo ocurre cuando n-1 variables son iguales.
Aplicación a funciones con curvatura hacia arriba como x², eˣ o -ln(x).
Aplicación a funciones con curvatura hacia abajo como √x o ln(x).
Tn(cos θ) = cos(nθ).
Polinomios minimales de raíces primitivas.
Existen soluciones no medibles.
Trucos avanzados como SOS, uvw, línea tangente, mezcla de variables y suavizado.
Escribir una expresión como suma de cuadrados para demostrar que nunca es negativa.
Una generalización de Cauchy-Schwarz para exponentes p y q que cumplen 1/p + 1/q = 1.
La desigualdad del triángulo aplicada a normas Lᵖ.
Aproximar una función por su línea tangente en el punto donde se da la igualdad.
Polinomios T_n y U_n definidos por la relación cos(nθ) = T_n(cos θ).
Polinomios mínimos de las raíces primitivas de la unidad.
Compara sumas simétricas basándose en qué tan 'dispersos' están sus exponentes.
Técnica que consiste en igualar n-1 variables para optimizar la que sobra.
Trampas puntuales, condiciones de regularidad y soluciones extrañas o patológicas.
Técnica para ecuaciones donde la solución se define punto por punto.
Continuidad y otras condiciones que obligan a la función a portarse bien.
Sustitución ingeniosa para simplificar desigualdades simétricas usando u, v y w.
Mover los valores de las variables para acercarlos al punto de igualdad.
Usar mayorización y la desigualdad de Karamata para analizar casos extremos.
Cómo saber si un polinomio no se puede factorizar en un anillo dado.
Una forma fácil de ver si un polinomio es irreducible en Q usando divisibilidad por primos.