Área usando coordenadas: (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)|.
La Fórmula de la Agujeta, también conocida como la Fórmula del Agrimensor, es un algoritmo matemático que sirve para calcular el área de un polígono simple cuyos vértices están definidos por sus coordenadas cartesianas en el plano. A diferencia de la fórmula de Heron o los métodos estándar de base por altura, que requieren las longitudes de los lados o descomposiciones geométricas específicas, la Fórmula de la Agujeta te permite calcular directamente el área de cualquier polígono (triángulo, cuadrilátero o $n$-ágono) sin importar qué tan irregular sea, siempre y cuando tengas los vértices ordenados consecutivamente.
Esta técnica es súper útil en concursos de matemáticas (como el AMC 10/12 o el AIME) porque te ahorra el tener que graficar la figura con precisión o dividir formas complejas en triángulos y rectángulos más simples. El nombre "Agujeta" viene del patrón visual que usas para recordar el algoritmo: cuando escribes las coordenadas en una columna, multiplicas en diagonal hacia abajo (como si estuvieras amarrando una agujeta) y restas los productos de las diagonales hacia arriba.
De forma intuitiva, la fórmula calcula el área con signo del polígono. La puedes obtener sumando las áreas con signo de los trapecios que se forman entre cada lado del polígono y el eje $x$ (o también, las áreas con signo de los triángulos formados por cada lado y el origen). Al hacer la suma, las áreas "internas" se cancelan algebraicamente y solo queda el área encerrada por el polígono. Al final aplicas el valor absoluto para asegurar que el área sea positiva, sin importar si anotaste los vértices en sentido horario o antihorario.
Imagina que tienes un polígono $P$ con $n$ vértices etiquetados como $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ en orden consecutivo (ya sea en sentido horario o antihorario). Para aplicar la fórmula, te conviene definir $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ para "cerrar" el ciclo.
El área $A$ del polígono está dada por: $$ A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right| $$
Visualmente, esto se representa escribiendo las coordenadas en una columna y repitiendo el primer punto al final: $$ \begin{matrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \ \vdots & \vdots \ x_n & y_n \ x_1 & y_1 \end{matrix} $$ El cálculo se hace sumando los productos de las diagonales $x_i y_{i+1}$ y restando los productos de las diagonales $x_{i+1} y_i$: $$ A = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1) \right| $$
Caso Especial: Área de un Triángulo Para un triángulo con vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), $(x_3, y_3)$, la fórmula se simplifica a esta forma de determinante: $$ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$
Aquí tienes una demostración usando la descomposición geométrica del polígono en trapecios.
Paso 1: Configuración Considera un polígono con vértices $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), \dots, P_n(x_n, y_n)$ ordenados en sentido antihorario. Cierra el polígono definiendo $P_{n+1} = P_1$. Proyecta los vértices sobre el eje $x$. Para cada lado que conecta $P_i$ con $P_{i+1}$, considera el trapecio formado por los puntos $(x_i, 0), (x_{i+1}, 0), P_{i+1}, P_i$.
Paso 2: Área de un solo trapecio El área con signo del trapecio debajo del segmento $P_i P_{i+1}$ se calcula multiplicando el promedio de las alturas por el ancho. $$ \text{Área}i = \frac{y_i + y{i+1}}{2} (x_i - x_{i+1}) $$ Nota que si vas de derecha a izquierda ($x_i > x_{i+1}$), el área es positiva, y si vas de izquierda a derecha, es negativa. Esta dependencia de la orientación permite que las áreas fuera del polígono se cancelen con las de adentro de forma correcta.
Paso 3: Suma El área total del polígono es la suma de estas áreas de trapecios con signo: $$ A = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} (y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1}) $$
Paso 4: Expansión Algebraica Vamos a expandir el término dentro de la suma: $$ (y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1}) = x_i y_i - x_{i+1} y_i + x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_{i+1} $$ Sustituye esto de nuevo en la suma: $$ 2A = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_i - x_{i+1} y_i + x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_{i+1}) $$ Puedes agrupar estos términos en dos sumas separadas: $$ 2A = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) + \sum_{i=1}^{n} (x_i y_i - x_{i+1} y_{i+1}) $$
Paso 5: Cancelación Telescópica Fíjate en la segunda suma $\sum_{i=1}^{n} (x_i y_i - x_{i+1} y_{i+1})$. Esto se expande así: $$ (x_1 y_1 - x_2 y_2) + (x_2 y_2 - x_3 y_3) + \dots + (x_n y_n - x_{n+1} y_{n+1}) $$ Como $P_{n+1} = P_1$, tienes que $x_{n+1} y_{n+1} = x_1 y_1$. Por lo tanto, esta suma es telescópica y da 0.
Paso 6: Conclusión Lo que queda es: $$ 2A = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) $$ $$ A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) $$ Para considerar la posibilidad de que los vértices estén en sentido horario (lo que daría un valor negativo), tomas el valor absoluto: $$ A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right| $$ $\square$