Teorema de Stewart

Teoría

El Teorema de Stewart es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que establece una relación métrica entre las longitudes de los lados de un triángulo y la longitud de una ceviana (un segmento de recta que va desde un vértice hasta el lado opuesto). Recibe su nombre del matemático escocés Matthew Stewart y te da una herramienta de cálculo muy potente para determinar la longitud de una ceviana cuando conoces las longitudes de los lados y los segmentos en los que divides la base. A diferencia del Teorema de Ceva o el Teorema de Menelao, que tratan principalmente con razones y concurrencia, el Teorema de Stewart se enfoca estrictamente en longitudes.

Este teorema es súper importante en las olimpiadas de matemáticas, como el AMC 12 y el AIME, porque te permite saltarte cálculos trigonométricos complejos o configuraciones de geometría analítica. Sirve como una generalización de la fórmula de la longitud de la mediana y es clave para sacar las longitudes de las bisectrices. Una regla mnemotécnica común (en inglés) para recordar la fórmula es "A man and his dad put a bomb in the sink" (que representa los términos $man + dad = bmb + cnc$), lo cual te ayuda a recordar cómo se emparejan los lados y los segmentos.

Fórmulas Clave

Toma un triángulo $ABC$ con lados $a, b, c$ (donde $a=BC$, $