Fórmula del Teorema de Stewart

Teoría

El Teorema de Stewart es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que establece una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y la longitud de una ceviana (un segmento de recta que va desde un vértice hasta el lado opuesto). Aunque la trigonometría básica te permite resolver triángulos si conoces los lados y los ángulos, el Teorema de Stewart es súper potente porque relaciona longitudes con longitudes sin que tengas que calcular ángulos explícitamente. Es una herramienta esencial para problemas de geometría que aparecen en competencias como el AMC 12 y el AIME, y muchas veces te sirve como un puente para encontrar una longitud que falta cuando la geometría analítica sería demasiado pesada.

Este teorema lo puedes aplicar a cualquier triángulo $ABC$ con un punto $D$ en el lado $BC$. Si conoces las longitudes de los lados del triángulo y la razón en la que la ceviana divide la base, el Teorema de Stewart te permite calcular la longitud de la ceviana misma. Al revés, si conoces la longitud de la ceviana, te puede ayudar a determinar las longitudes de los lados o de los segmentos de la base.

Una mnemotecnia común en inglés para recordar la fórmula es "A man and his dad put a bomb in the sink" (Un hombre y su papá pusieron una bomba en el fregadero). Esto corresponde al orden de las variables en la ecuación $man + dad = bmb + cnc$, donde $m$ y $n$ son los segmentos de la base, $a$ es la base total, $d$ es la ceviana, y $b$ y $c$ son los otros dos lados. Este teorema generaliza la Fórmula de la Longitud de la Mediana (Teorema de Apolonio) y te da la base algebraica para calcular la longitud de las bisectrices.

Fórmulas Clave

Considera un triángulo con lados de longitud $a, b, c$. Sea $d$ la longitud de una ceviana al lado de longitud $a$. Esta ceviana divide al lado $a$ en dos segmentos de longitud $m$ y $n$, de tal forma que $m + n = a$.

La forma estándar del Teorema de Stewart es: $$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$$

Esto lo puedes reacomodar de la forma que aparece en la descripción del tema: $$b^2m + c^2n - a(d^2 + mn) = 0$$

Definiciones de las variables:

• $a, b, c$: Longitudes de los lados del triángulo (donde $a$ es el lado que se corta).
• $d$: Longitud de la ceviana.
• $m, n$: Longitudes de los segmentos del lado $a$ creados por la ceviana ($m$ es adyacente al lado $c$, y $n$ es adyacente al lado $b$). Fíjate que el orden importa: la longitud del lado $c$ va con el segmento no adyacente $n$, y el lado $b$ va con el segmento $m$.

Casos Especiales:

1. Mediana: Si la ceviana es una mediana, entonces $m = n = \frac{a}{2}$. La fórmula se simplifica y llegas al Teorema de Apolonio: $$2(b^2 + c^2) = 4d^2 + a^2$$
2. Bisectriz: Si la ceviana es una bisectriz, el Teorema de la Bisectriz dice que $\frac{c}{m} = \frac{b}{n}$. Combinando esto con el Teorema de Stewart, obtienes la fórmula para su longitud específica: $$d^2 = bc - mn$$

Demostración

La demostración del Teorema de Stewart la haces usando la Ley de los Cosenos.

Configuración: Sea $\triangle ABC$ con lados $AB=c$, $AC=b$ y $BC=a$. Sea $D$ un punto en $BC$ tal que $AD=d$, $BD=m$ y $DC=n$. Nota que $a = m + n$. Sea $\angle ADB = \theta$. Por lo tanto, $\angle ADC = 180^\circ - \theta$.

Paso 1: Aplica la Ley de los Cosenos al $\triangle ABD$ En el $\triangle ABD$, si aplicas la Ley de los Cosenos al ángulo $\theta$: $$c^2 = m^2 + d^2 - 2md \cos \theta$$ Si despejas $\cos \theta$: $$\cos \theta = \frac{m^2 + d^2 - c^2}{2md} \quad (*)$$

Paso 2: Aplica la Ley de los Cosenos al $\triangle ADC$ En el $\triangle ADC$, si aplicas la Ley de los Cosenos al ángulo $180^\circ - \theta$: $$b^2 = n^2 + d^2 - 2nd \cos(180^\circ - \theta)$$ Recuerda la identidad trigonométrica $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$. Al sustituir esto, obtienes: $$b^2 = n^2 + d^2 + 2nd \cos \theta$$ Si despejas $\cos \theta$: $$\cos \theta = \frac{b^2 - n^2 - d^2}{2nd} \quad (**)$$

Paso 3: Iguala y elimina $\cos \theta$ Iguala la ecuación $(*)$ con la ecuación $(**)$: $$\frac{m^2 + d^2 -