Potencia Secante-Secante

Teoría

El teorema de la potencia secante-secante es un caso específico del teorema de la potencia de un punto. Describe la relación geométrica entre las longitudes de los segmentos de línea que se forman cuando dos líneas secantes, trazadas desde un solo punto externo, intersectan un círculo. Específicamente, si un punto $P$ está afuera de un círculo y trazas dos líneas que pasan por $P$ e intersectan al círculo, el producto de la longitud del segmento externo y la longitud de todo el segmento secante es constante para ambas líneas.

Este concepto es fundamental en las matemáticas de competencia y aparece seguido en el AMC 12 y el AIME. Te sirve como una herramienta clave para calcular longitudes de segmentos que no son parte de triángulos obvios. Además, el teorema da una condición necesaria y suficiente para que varios puntos sean concíclicos; el inverso del teorema se usa mucho para demostrar que cuatro puntos están en el mismo círculo (un cuadrilátero cíclico) al mostrar que los productos de las longitudes de los segmentos son iguales.

La intuición detrás de este teorema se basa en triángulos semejantes. Aunque las líneas secantes se separan, las propiedades de los cuadriláteros cíclicos crean ángulos iguales que obligan a que se formen triángulos semejantes "cruzados" sobre el círculo. Esta invarianza —que el producto dependa solo de la distancia de $P$ al centro y del radio del círculo— es la razón por la que a este valor lo llamamos la "potencia" del punto $P$.

Fórmulas Clave

El Teorema Secante-Secante

Imagina que $P$ es un punto afuera de un círculo.

1. Haz que una línea secante que pase por $P$ intersecte al círculo en dos puntos $A$ y $B$ (donde $A$ está entre $P$ y $B$).
2. Haz que una segunda línea secante que pase por $P$ intersecte al círculo en dos puntos $C$ y $D$ (donde $C$ está entre $P$ y $D$).

El teorema dice que: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

Nota: Es un error común multiplicar la parte externa por la parte interna ($PA \cdot AB$). Siempre multiplica la parte externa por la longitud de toda la secante.

Potencia de un Punto

El valor constante de este producto es la potencia del punto $P$ con respecto al círculo. Si $O$ es el centro del círculo y $r$ es el radio: $$PA \cdot PB = OP^2 - r^2$$

El Inverso (Conciclicidad)

Si dos segmentos de línea $AB$ y $CD$ se intersectan en un punto $P$ de tal forma que $PA \cdot PB = PC \cdot PD$, entonces los puntos $A, B, C$ y $D$ están en el mismo círculo.

Demostración

Teorema: Dado un punto $P$ afuera de un círculo, haz que una secante por $P$ intersecte al círculo en $A$ y $B$ (con $P-A-B$), y otra secante por $P$ lo intersecte en $C$ y $D$ (con $P-C-D$). Entonces $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Demostración:

1. Construye cuerdas: Traza los segmentos $BC$ y $AD$ para formar dos triángulos, $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$.

2. Identifica ángulos iguales:

   • Fíjate en el ángulo en $P$, que escribimos como $\angle APD$. Este ángulo es común para ambos triángulos $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$.
   • Considera el cuadrilátero $ABCD$ inscrito en el círculo. Los puntos $A, B, D, C$ son concíclicos.
   • Los ángulos inscritos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ subtienden el mismo arco $AC$. Por lo tanto, sus medidas son iguales: $$\angle ABC = \angle ADC$$
   • Nota que $\angle ABC$ es el mismo que el ángulo $\angle PBC$, y $\angle ADC$ es el mismo que el ángulo $\angle PDA$. Así que $\angle PBC = \angle PDA$.

3. Establece la semejanza:

   • Como $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$ comparten el $\angle P$ y tienen $\angle PDA = \angle PBC$, los triángulos son semejantes por el criterio de semejanza AA (Ángulo-Ángulo).
   • Correspondencia de vértices: $P \leftrightarrow P$, $D \leftrightarrow B$ y $A \leftrightarrow C$.
   • Por lo tanto: $$\triangle PAD \sim \triangle PCB$$

4. Plantea las razones:

   • Como los triángulos son semejantes, las razones de las longitudes de los lados correspondientes son iguales: $$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$$

5. Obtén la fórmula:

   • Multiplica cruzado los términos de la proporción: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

$\square$