Homotecia

Teoría

Una homotecia (también llamada dilatación central o transformación homotética) es una transformación de semejanza definida por un centro $O$ y una razón real $k$ distinta de cero. Mapea un punto $P$ a un punto $P'$ de tal forma que $O, P$ y $P'$ son colineales, y cumple la ecuación vectorial $\vec{OP'} = k \vec{OP}$. Si $k > 0$, la imagen $P'$ está en el rayo $OP$ (homotecia directa); si $k < 0$, $P'$ está en el rayo opuesto a $OP$ (homotecia inversa), lo que básicamente refleja el punto a través del centro mientras lo escala.

Esta transformación es una herramienta fundamental en la geometría de olimpiadas porque preserva ángulos y mapea rectas a rectas paralelas. Es especialmente poderosa para problemas que involucran dos circunferencias, ya que cualquier par de circunferencias no concéntricas son homotéticas entre sí a través de dos centros distintos (los centros de similitud interno y externo). Puedes usar la homotecia seguido para demostrar que tres puntos son colineales (el centro de homotecia y dos puntos correspondientes) o que tres rectas son concurrentes (las rectas que conectan puntos correspondientes en figuras homotéticas se intersectan en el centro).

Un truco clave en problemas avanzados es reconocer homotecias "escondidas". Por ejemplo, en cualquier triángulo, el triángulo medial (formado por los puntos medios de los lados