Baricentro

Teoría

El baricentro (que casi siempre verás como $G$) es uno de los centros del triángulo más importantes en la geometría. Lo definimos como la intersección de las tres medianas de un triángulo. Una mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Una propiedad clave del baricentro es que siempre está dentro del triángulo. Físicamente, el baricentro representa el centro de masa de un triángulo con densidad uniforme; si cortaras un triángulo de cartón, se quedaría en equilibrio perfecto sobre la punta de un lápiz si lo pones justo en el baricentro.

La propiedad más poderosa del baricentro para las olimpiadas de matemáticas es la razón en la que divide a las medianas. El baricentro divide a cada mediana en una razón de $2:1$, medida desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Esto significa que la distancia del vértice al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al punto medio. Esta propiedad la puedes usar muchísimo en exámenes como el AMC 10/12 para relacionar longitudes dentro de un triángulo sin tener que usar trigonometría complicada.

Además, el baricentro tiene implicaciones importantes para el área. Las tres medianas dividen al triángulo en seis triangulitos de igual área. Además, si unes el baricentro con los tres vértices, divides al triángulo original en tres triángulos ($GAB, GBC, GCA$) que también tienen áreas iguales, cada uno siendo exactamente un tercio del área total.