Fórmula del Exradio $r_a$

Teoría

El exradio $r_a$ es el radio del excírculo opuesto al vértice $A$ de un triángulo. Este excírculo es tangente al lado $a$ (el segmento $BC$) y a las extensiones de los lados $b$ y $c$. Mientras que el inradio $r$ relaciona el área de un triángulo con su semiperímetro completo $s$, el exradio $r_a$ relaciona el área con la diferencia entre el semiperímetro y el lado $a$. Específicamente, la fórmula $r_a = \frac{K}{s-a}$ te sirve como la contraparte exterior de la conocida fórmula del inradio $r = \frac{K}{s}$.

Este concepto es fundamental en la geometría de olimpiada porque te sirve como un puente entre las dimensiones lineales (longitudes de los lados, perímetro) y el área. La usas muy seguido en problemas de optimización, desigualdades y configuraciones complejas donde hay círculos tangentes a rectas. Entender $r_a$ también es clave para que saques relaciones entre el circunradio $R$, el inradio $r$ y los tres exradios, como el Teorema de Euler en geometría o identidades con funciones trigonométricas de ángulos medios.

Intuitivamente, la fórmula sale de descomponer el área del triángulo. Así como el incentro te permite sumar las áreas de tres triángulos internos para encontrar el área total, el excentro te permite expresar el área total como una suma con