Intersección de las alturas.
El ortocentro, que normalmente lo escribimos como $H$, es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Una altura es un segmento de recta que sale de un vértice y corta al lado opuesto (o a su prolongación) en un ángulo recto. Mientras que el gravicentro y el incentro siempre están adentro del triángulo, la ubicación del ortocentro depende de qué tipo de triángulo tengas: está adentro si es un triángulo acutángulo, afuera si es obtusángulo, y coincide con el vértice del ángulo recto si es un triángulo rectángulo.
En las olimpiadas de matemáticas, el ortocentro es una fuente increíble de cuadriláteros cíclicos y triángulos semejantes. Los pies de las alturas, junto con los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con $H$, todos están en la Circunferencia de los Nueve Puntos. Además, el conjunto de puntos ${A, B, C, H}$ forma un sistema ortocéntrico, lo que quiere decir que $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$, pero $A$ también es el ortocentro de $\triangle HBC$, y así sucesivamente. Esta simetría es una herramienta muy poderosa para resolver problemas complejos de geometría.
Que el ortocentro exista no es algo obvio y requiere una demostración. El enfoque más educativo relaciona las alturas del triángulo original con las mediatrices de un triángulo auxiliar más grande. Dominar el ortocentro implica entender las relaciones de ángulos que crea (específicamente los ángulos suplementarios) y las relaciones de potencia de un punto que se generan por la intersección de las alturas.
Imagina un triángulo $\triangle ABC$ con ángulos $A, B, C$, circunradio $R$, y alturas $AD, BE, CF$ que se cortan en el ortocentro $H$.
Relaciones de Ángulos: $$ \angle BHC = 180^\circ - A $$ $$ \angle AHC = 180^\circ - B $$ $$ \angle AHB = 180^\circ - C $$
Fórmulas de Distancia: La distancia de un vértice al ortocentro es: $$ AH = 2R \cos A, \quad BH = 2R \cos B, \quad CH = 2R \cos C $$
Potencia de un Punto (Producto de Segmentos): Como las alturas se cortan, los productos de los segmentos de las cuerdas son iguales: $$ AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF $$ Nota: En un triángulo acutángulo, este valor es igual a $4R^2 \cos A \cos B \cos C$.
Propiedad del Radio: Los circuncírculos de $\triangle ABC$, $\triangle HBC$, $\triangle HCA$ y $\triangle HAB$ son todos congruentes. Su radio es $R$.
Teorema: Las tres alturas de un triángulo son concurrentes.
Demostración: Toma el triángulo $\triangle ABC$. La idea es construir un triángulo auxiliar para relacionar las alturas de $\triangle ABC$ con las mediatrices del nuevo triángulo.
Construcción del Triángulo Anticomplementario: Traza una línea por $A$ paralela a $BC$, una línea por $B$ paralela a $AC$, y una línea por $C$ paralela a $AB$. Deja que estas líneas se corten para formar un triángulo más grande $\triangle A'B'C'$, donde $A$ está sobre $B'C'$, $B$ está sobre $A'C'$, y $C$ está sobre $A'B'$.
Propiedades de los Paralelogramos: Por construcción, los cuadriláteros $ABCB'$ y $ACBC$ son paralelogramos.
Relacionando Alturas con Mediatrices: Considera la altura de $\triangle ABC$ desde el vértice $A$ hacia el lado $BC$. Llama a esta línea $\ell_a$.
Concurrencia: Siguiendo la misma lógica, la altura desde $B$ hacia $AC$ es la mediatriz del lado $A'C'$, y la altura desde $C$ hacia $AB$ es la mediatriz del lado $A'B'$. Ya conoces un teorema que dice que las mediatrices de un triángulo son concurrentes (se cortan en el circuncentro). Por lo tanto, las líneas que contienen las alturas de $\triangle ABC$ se tienen que cortar en un solo punto. Este punto es el circuncentro de $\triangle A'B'C'$ y el ortocentro de $\triangle ABC$.
$\square$