Dualidad Polo-Polar

Teoría

La dualidad polo-polar es una transformación muy poderosa en geometría proyectiva, que normalmente defines con respecto a un círculo fijo (o una sección cónica). En esta correspondencia, a cada punto del plano (excepto el centro del círculo) lo asocias con una recta única llamada su polar, y a cada recta (que no pase por el centro) la asocias con un punto único llamado su polo. El poder fundamental de esta técnica está en que puedes traducir problemas de colinealidad de puntos en problemas de concurrencia de rectas, y al revés.

Esta técnica es básica en la geometría de olimpiada, sobre todo para problemas que tienen tangentes, cuadriláteros cíclicos e incírculos. La dualidad mantiene las propiedades de incidencia: si un punto $A$ está en una recta $b$, entonces el polo de $b$ (el punto $B$) está en la polar de $A$ (la recta $a$). Esta simetría, que es el Teorema de La Hire, te permite "dualizar" una configuración difícil para convertirla en una más simple. Por ejemplo, demostrar que tres puntos son colineales es lo mismo que demostrar que sus rectas polares se intersectan en un solo punto.

Para que te des una idea, la polar de un punto $P$ que está afuera del círculo es la recta que une los puntos de tangencia de las tangentes que salen de $P$ hacia el círculo. Si $P$ está adentro del círculo