1/r = 1/rₐ + 1/r_b + 1/r_c.
La relación entre el inradio $r$ y los tres exradios $r_a, r_b, r_c$ de un triángulo es una identidad fundamental en la geometría euclidiana. Específicamente, la suma de los recíprocos de los exradios es igual al recíproco del inradio. Este concepto sirve como un puente entre la geometría "interna" del triángulo (el incírculo) y su geometría "externa" (los excírculos).
En las matemáticas de competencia, como el AIME o la USAMO, esta identidad es crucial para la manipulación algebraica de cantidades geométricas. Te permite simplificar expresiones simétricas que involucran radios al convertirlas en expresiones que usan el semiperímetro y el área. Como definimos los exradios por los puntos de tangencia en las extensiones de los lados, sus fórmulas están muy relacionadas con el semiperímetro $s$. Esta relación aprovecha la simetría de las fórmulas del área para reducir restricciones geométricas complejas a igualdades algebraicas más limpias.
Intuitivamente, esta relación refleja cómo el "ajuste" del círculo que cabe dentro del triángulo se relaciona con la "holgura" de los círculos que caben por fuera. La usas seguido junto con identidades que involucran el circunradio $R$, como la suma de los mismos exradios ($r_a + r_b + r_c = 4R + r$), para resolver problemas donde solo conoces combinaciones específicas de radios o longitudes de los lados.
Supón que $r$ es el inradio, $r_a, r_b, r_c$ son los exradios tangentes a los lados $a, b, c$ respectivamente, $s$ es el semiperímetro, $K$ es el área y $R$ es el circunradio.
La relación de la suma de recíprocos: $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} $$
La suma de exradios (Steiner's Relation): $$ r_a + r_b + r_c = 4R + r $$
Identidad del área relacionada: $$ K = \sqrt{r r_a r_b r_c} $$
Relación con las alturas: Como $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}$, también tienes que: $$ \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} $$
Teorema: Para cualquier triángulo con inradio $r$ y exradios $r_a, r_b, r_c$, tienes la siguiente igualdad: $$ \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r} $$
Demostración: Usa las fórmulas estándar del área de un triángulo. Llama $K$ al área del triángulo y $s$ al semiperímetro, donde $s = \frac{a+b+c}{2}$.
Recuerda las fórmulas que relacionan el área con el inradio y los exradios:
Si tomas los recíprocos de las fórmulas de los exradios, obtienes: $$ \frac{1}{r_a} = \frac{s-a}{K}, \quad \frac{1}{r_b} = \frac{s-b}{K}, \quad \frac{1}{r_c} = \frac{s-c}{K} $$
Ahora, suma estos recíprocos: $$ \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{s-a}{K} + \frac{s-b}{K} + \frac{s-c}{K} $$
Como los denominadores son iguales, puedes combinar los numeradores: $$ \sum_{cyc} \frac{1}{r_a} = \frac{(s-a) + (s-b) + (s-c)}{K} $$ $$ \sum_{cyc} \frac{1}{r_a} = \frac{3s - (a+b+c)}{K} $$
Recuerda que $a+b+c$ es el perímetro, que es igual a $2s$. Al sustituir esto en el numerador: $$ \sum_{cyc} \frac{1}{r_a} = \frac{3s - 2s}{K} = \frac{s}{K} $$
Por la fórmula del área con el inradio $K=rs$, sabes que $\frac{s}{K} = \frac{1}{r}$. Por lo tanto: $$ \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r} $$ $\square$