Longitud de la Bisectriz

Teoría

Calcular la longitud de una bisectriz es una técnica fundamental en la geometría euclidiana, que conecta las propiedades de los lados de un triángulo con sus cevianas internas. Una bisectriz es una ceviana que divide un ángulo de un triángulo en dos ángulos iguales. Aunque el Teorema de la Bisectriz te da la razón en la que la bisectriz divide al lado opuesto, no te da directamente la longitud de la bisectriz misma.

Este tema es una aplicación específica del Teorema de Stewart, que relaciona la longitud de cualquier ceviana con los lados del triángulo. Sin embargo, aplicar el Teorema de Stewart directamente puede ser un lío algebraico. Si usas las propiedades específicas de la bisectriz (especialmente la igualdad de razones que te da el Teorema de la Bisectriz), la fórmula general de Stewart se simplifica en una identidad concisa y elegante.

Dominar esta fórmula de longitud es esencial para competencias como el AMC 12 y el AIME. Aparece seguido en problemas que involucran incírculos, cuadriláteros cíclicos y configuraciones trigonométricas complejas. La fórmula te da un vínculo directo entre el producto de los lados que forman el ángulo y el producto de los segmentos en el tercer lado, dándote una visión geométrica profunda de las relaciones métricas de un triángulo.

Fórmulas Clave

Considera un triángulo $ABC$ con lados $a, b, c$ opuestos a los vértices $A, B, C$ respectivamente. Digamos que $AD$ es la bisectriz interna del $\angle A$, que corta al lado $BC$ en el punto $D$. Sea $d = AD$ la longitud de la bisectriz. Deja que $D$ divida a $BC$ en dos segmentos de longitud $m = BD$ y $n = CD$.

La forma más común y elegante de la fórmula de la longitud es: $$ d^2 = bc - mn $$

Si usas el Teorema de la Bisectriz ($m/n = c/b$) para expresar $m$ y $n$ en términos de los lados, puedes escribir la fórmula exclusivamente con $a, b,$ y $c$: $$ d^2 = bc \left( 1 - \left( \frac{a}{b+c} \right)^2 \right) $$

De forma alternativa, usando trigonometría, puedes expresar la longitud de la bisectriz como: $$ d = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} $$

Demostración

Aquí tienes la demostración usando triángulos semejantes y las propiedades de los cuadriláteros cíclicos. Este enfoque suele ser más instructivo que andar haciendo álgebra con el Teorema de Stewart, porque revela la relación geométrica entre el producto de los lados y la potencia de un punto.

Configuración: Sea $\triangle ABC$ un triángulo con bisectriz $AD$, donde $D$ está sobre $BC$. Digamos que $AB=c$, $AC=b$, $BD=m$, $CD=n$ y $AD=d$.

Paso 1: Construcción Circunscribe el $\triangle ABC$ en un círculo. Extiende la bisectriz $AD$ hasta que corte al circuncírculo en el punto $E$. Dibuja el segmento $EC$.

Paso 2: Identifica triángulos semejantes Considera los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle AEC$.

1. $\angle BAD = \angle EAC$. Como $AD$ es la bisectriz del $\angle A$, y $E$ está en la extensión de $AD$, estos ángulos son idénticos.
2. $\angle ABC = \angle AEC$. Estos son ángulos inscritos que abren el mismo arco $AC$.

Como dos ángulos correspondientes son iguales, $\triangle ABD \sim \triangle AEC$ por semejanza AA.

Paso 3: Razones de semejanza De la semejanza $\triangle ABD \sim \triangle AEC$, puedes igualar las razones de los lados correspondientes: $$ \frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC} $$ Sustituyendo las longitudes que conocemos ($AB=c$, $AC=b$, $AD=d$): $$ \frac{c}{AE} = \frac{d}{b} $$ $$ bc = d \cdot AE $$

Paso 4: Descomposición de segmentos Nota que el segmento $AE$ está compuesto por la bisectriz $AD$ y la extensión $DE$. Así que $AE = d + DE$. Si sustituyes esto en la ecuación: $$ bc = d(d + DE) $$ $$ bc = d^2 + d \cdot DE $$

Paso 5: Potencia de un punto Considera el punto $D$ dentro del circuncírculo. Las cuerdas $BC$ y $AE$ se cortan en $D$. Por el Teorema de la Potencia de un Punto (teorema de las cuerdas secantes): $$ AD \cdot DE = BD \cdot CD $$ $$ d \cdot DE = m \cdot n $$

Paso 6: Sustitución final Sustituye $mn$ en lugar de $d \cdot DE$ en la ecuación del Paso 4: $$ bc = d^2 + mn $$

Despejando para encontrar el cuadrado de la longitud de la bisectriz: $$ d^2 = bc - mn $$

$\square$