Dos Secantes desde un Punto Externo

Teoría

El teorema de las "Dos Secantes desde un Punto Externo" es un resultado fundamental en la geometría del círculo y forma parte del tema más amplio de los teoremas de la Potencia de un Punto. Describe la relación geométrica entre las longitudes de los segmentos de recta que se forman cuando dos rectas secantes, trazadas desde un solo punto fuera de un círculo, cortan a ese círculo. Específicamente, si tienes un punto $P$ fuera de un círculo, y dos rectas que pasan por $P$ intersecan al círculo en los puntos $A, B$ y $C, D$ respectivamente, el producto de las longitudes de los segmentos desde $P$ hasta los puntos de intersección en una recta es igual al producto de las longitudes en la otra recta.

Este concepto es crucial en las matemáticas de competencia (como el AMC 12 y el AIME) porque te permite convertir información angular (cuadriláteros cíclicos) en información métrica (longitudes de lados), y viceversa. Lo puedes usar frecuentemente para encontrar longitudes de segmentos que faltan, calcular el radio de un círculo dadas las longitudes de las secantes, o demostrar que cuatro puntos son concíclicos (que están en el mismo círculo) usando el recíproco del teorema.

La intuición detrás de este teorema está en el concepto de la "Potencia de un Punto". Para cualquier círculo fijo y un punto fijo $P$, el producto de las distancias desde $P$ hasta los puntos de intersección de cualquier recta que pase por $P$ es constante. Ya sea que la recta sea una secante que corta en dos puntos o una tangente que toca en uno solo, este valor se mantiene invariante. Esta invarianza revela una simetría profunda en la geometría del círculo que involucra triángulos semejantes formados por los extremos de las secantes.

Fórmulas Clave

Toma un punto $P$ fuera de un círculo $\omega$. Traza una recta que pase por $P$ e interseque a $\omega$ en dos puntos $A$ y $B$ (donde $A$ está entre $P$ y $B$). Traza otra recta que pase por $P$ e interseque a $\omega$ en dos puntos $C$ y $D$ (donde $C$ está entre $P$ y $D$).

El Teorema de la Potencia Secante-Secante: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

El Teorema Tangente-Secante (Caso Especial): Si una de las rectas es tangente al círculo en el punto $T$, los dos puntos de intersección se fusionan en uno solo ($A=B=T$), lo que te da: $$PT^2 = PC \cdot PD$$

Definición de la Potencia de un Punto: Si $O$ es el centro del círculo con radio $r$, y $d$ es la distancia $PO$, el valor constante (la potencia del punto $P$) es: $$PA \cdot PB = d^2 - r^2$$

Demostración

Teorema: Toma un punto $P$ fuera de un círculo. Supón que una recta secante que pasa por $P$ corta al círculo en $A$ y $B$ (con $A$ entre $P$ y $B$), y que una segunda recta secante que pasa por $P$ corta al círculo en $C$ y $D$ (con $C$ entre $P$ y $D$). Entonces $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Demostración:

1. Construye líneas auxiliares: Dibuja segmentos de recta que conecten $A$ con $D$ y $B$ con $C$. Esto forma dos triángulos: $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$.

2. Identifica ángulos iguales:

   • El ángulo en $P$, que escribimos como $\angle APD$ (o $\angle CPB$), es común para ambos triángulos $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$.
   • Considera el cuadrilátero cíclico $ABCD$ formado por los cuatro puntos en el círculo. Una propiedad clave de los cuadriláteros cíclicos es que un ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto.
   • Específicamente, $\angle PAD$ es un ángulo exterior al cuadrilátero cíclico $ABCD$ en el vértice $A$ (ya que $P, A, B$ son colineales). El ángulo interior opuesto es $\angle BCD$ (o $\angle PCB$).
   • Por lo tanto, $\angle PAD = \angle PCB$.

   (Justificación alternativa: $\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$ porque son ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico. Además, $\angle DAB + \angle PAD = 180^\circ$ porque forman un par lineal. Así que $\angle PAD = \angle DCB$.)

3. Establece la semejanza: Como $\triangle PAD$ y $\triangle PCB$ comparten el $\angle P$ y tienen $\angle PAD = \angle PCB$, los triángulos son semejantes por el criterio de semejanza AA (Ángulo-Ángulo): $$\triangle PAD \sim \triangle PCB$$

4. Plantea las proporciones: Como los triángulos son semejantes, las razones de sus lados correspondientes son iguales. Nota que el lado $PA$ en el $\triangle PAD$ corresponde al lado $PC$ en el $\triangle PCB$, y el lado $PD$ en el $\triangle PAD$ corresponde al lado $PB$ en el $\triangle PCB$. $$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$$

5. Obtén el resultado: Multiplica de forma cruzada la proporción para obtener la igualdad final: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

$\square$