La proporción OG:GH es 1:2.
La Recta de Euler es una línea fundamental en la geometría de un triángulo que no sea equilátero. Esta línea pasa por varios centros importantes del triángulo, principalmente el Ortocentro ($H$), el Gravicentro ($G$) y el Circuncentro ($O$). Aunque el hecho de que estos puntos sean colineales ya es un resultado importante, la distancia específica entre ellos —la Razón de la Recta de Euler— es una herramienta de cálculo muy poderosa en las matemáticas de competencia.
El teorema dice que el gravicentro $G$ siempre está entre el ortocentro $H$ y el circuncentro $O$. Además, $G$ divide al segmento $OH$ en una razón específica: la distancia del gravicentro al ortocentro es exactamente el doble de la distancia del gravicentro al circuncentro. Esta relación se cumple para todos los triángulos que no sean equiláteros.
Este concepto es clave en problemas de nivel AIME y USAMO porque te permite encontrar la ubicación de un centro si ya conoces los otros dos. Básicamente reduce los grados de libertad en problemas de geometría analítica o de vectores. La intuición detrás de esta razón viene de una homotecia (una transformación de escala) centrada en el gravicentro $G$ con un factor de $-1/2$. Esta transformación mapea el triángulo $ABC$ a su triángulo medial y, por lo tanto, mapea el ortocentro de $ABC$ al ortocentro del triángulo medial (que coincide con el circun