r = Área/s.
La relación entre el área de un triángulo, su semiperímetro y su inradio es una de las herramientas más fundamentales y usadas en la geometría de olimpiadas. La fórmula dice que el área $K$ de un triángulo es igual al producto de su semiperímetro $s$ por su inradio $r$. Esta relación te sirve como el método principal para calcular el inradio cuando conoces las longitudes de los lados de un triángulo. Normalmente, primero vas a calcular el área usando la fórmula de Herón o la fórmula estándar $\frac{1}{2}bh$, y luego aplicas $r = K/s$ para despejar el inradio.
Este concepto es especialmente poderoso porque conecta las medidas lineales de una dimensión (lados) con las propiedades del área en dos dimensiones. Aunque la fórmula se aplica más seguido a triángulos, la idea de fondo —dividir un polígono en triángulos más chicos que se juntan en el centro del círculo inscrito— funciona para cualquier polígono que tenga un incírculo (un polígono tangencial o circunscrito). En concursos avanzados como el AIME o la USAMO, reconocer esta división te permite resolver rápido problemas con polígonos tangenciales complejos que de otra forma serían imposibles de calcular directamente.
La relación fundamental que conecta el Área ($K$), el semiperímetro ($s$) y el inradio ($r$) es: $$ K = rs $$
Si despejas el inradio, te queda: $$ r = \frac{K}{s} $$
Donde el semiperímetro $s$ es: $$ s = \frac{a + b + c}{2} $$
Caso Especial: Triángulos Rectángulos Para un triángulo rectángulo con catetos $a, b$ e hipotenusa $c$, el área es simplemente $\frac{1}{2}ab$. Si sustituyes esto en la fórmula general, obtienes un atajo: $$ r = \frac{ab}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{2} $$
Generalización Para cualquier polígono tangencial (un polígono que tiene un círculo inscrito) con perímetro $P$ e inradio $r$: $$ \text{Área} = r \cdot \frac{P}{2} = rs $$
Teorema: Para un triángulo con lados $a, b, c$, semiperímetro $s$ e inradio $r$, el área $K$ es $K = rs$.
Demostración: Toma un triángulo $\triangle ABC$ con lados $a = BC$, $b = AC$ y $c = AB$. Llama $I$ al incentro del triángulo y $r$ al inradio.
Descomposición: Une el incentro $I$ con los tres vértices $A$, $B$ y $C$. Esto divide al triángulo grande $\triangle ABC$ en tres triángulos más pequeños: $\triangle IBC$, $\triangle ICA$ y $\triangle IAB$. $$ \text{Área}(\triangle ABC) = \text{Área}(\triangle IBC) + \text{Área}(\triangle ICA) + \text{Área}(\triangle IAB) $$
Identificación de las alturas: Por definición, el incentro $I$ está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Si trazas perpendiculares desde $I$ hacia los lados $BC$, $AC$ y $AB$, la longitud de cada perpendicular es exactamente el inradio $r$. Por lo tanto, para cada uno de los triángulos pequeños, la base es un lado del triángulo original y la altura correspondiente es $r$.
Cálculo de áreas: Calcula el área de cada triángulo pequeño: $$ \text{Área}(\triangle IBC) = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2}ar $$ $$ \text{Área}(\triangle ICA) = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2}br $$ $$ \text{Área}(\triangle IAB) = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2}cr $$
Suma: Sustituye estas áreas en la ecuación de la descomposición: $$ K = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr $$
Factorización: Factoriza los términos comunes $\frac{1}{2}$ y $r$: $$ K = r \cdot \left( \frac{a + b + c}{2} \right) $$
Sustitución: Como el semiperímetro es $s = \frac{a+b+c}{2}$, sustituye $s$ en la ecuación: $$ K = rs $$
$\square$