Teorema de Ptolemy

Teoría

El teorema de Ptolemy es un resultado muy bonito de la geometría del círculo que relaciona los lados y las diagonales de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo). Llamado así por el astrónomo griego Claudio Ptolemy (c. 100-170 d.C.), el teorema dice que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

El teorema tiene un recíproco muy potente: si la ecuación de Ptolemy se cumple para un cuadrilátero, entonces tiene que ser cíclico. También hay una versión en desigualdad: para cualquier cuadrilátero, el producto de las diagonales es a lo mucho la suma de los productos de los lados opuestos, y la igualdad se da si y solo si el cuadrilátero es cíclico.

Algunas aplicaciones son:

• Calcular longitudes de diagonales en cuadriláteros cíclicos
• Demostrar identidades trigonométricas
• Obtener la ley de los senos
• Problemas que involucran figuras inscritas

Fórmulas Clave

Teorema de Ptolemy:

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con diagonales $AC$ y $BD$: $$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$$

Desigualdad de Ptolemy:

Para cualquier cuadrilátero $ABCD$: $$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC$$

con la igualdad si y solo si $ABCD$ es cíclico.

Caso Especial (para un rectángulo inscrito en un círculo):

Si $ABCD$ es un rectángulo con lados $a, b$ y diagonal $d$: $$d^2 = a^2 + b^2$$ (Teorema de Pitágoras)

Aplicación Trigonométrica:

Para un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo de radio $R$: $$\sin(A + C) = \sin(B + D) = 0$$ (los ángulos opuestos son suplementarios)

Demostración

Demostración usando triángulos semejantes:

Toma un cuadrilátero cíclico $ABCD$ inscrito en un círculo.

Elige un punto $E$ en la diagonal $BD$ tal que $\angle BAE = \angle CAD$.

Paso 1: Muestra que $\triangle ABE \sim \triangle ACD$.

• $\angle BAE = \angle CAD$ (por construcción)
• $\angle ABE = \angle ACD$ (ángulos inscritos que abren el arco $AD$)

Por lo tanto, $\triangle ABE \sim \triangle ACD$ (semejanza AA).

Paso 2: De esta semejanza obtienes: $$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} = \frac{AE}{AD}$$

Así que $BE = \frac{AB \cdot CD}{AC}$.

Paso 3: Muestra que $\triangle ABD \sim \triangle AEC$.

• $\angle BAD = \angle BAE + \angle EAD = \angle CAD + \angle EAD = \angle EAC$
• $\angle ADB = \angle ACB$ (ángulos inscritos que abren el arco $AB$)

Espera, hay que pensarlo bien. En realidad:

• $\angle ABD = \angle ACD$ (ángulos inscritos en el arco $AD$)
• $\angle AEB = \angle AEC$ requiere cuidado...

Deja uso un enfoque más claro.

Paso 3 (revisado): Muestra que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

• $\angle DAE = \angle DAC + \angle CAE = \angle BAE + \angle CAE = \angle BAC$ — No, esto tampoco está bien.

Alternativa: Semejanza Directa

$\angle EAD = \angle BAC$ (ya que $\angle BAE = \angle CAD$ y $\angle BAD = \angle BAE + \angle EAD$) $\angle ADE = \angle ABD = \angle ABC$ (ángulos inscritos en el arco $AC$)...

De hecho, deja uso la demostración estándar:

$\triangle ADE \sim \triangle ACB$ porque:

• $\angle AED = 180° - \angle AEB$ y $\angle ACB$ se relacionan por las propiedades cíclicas
• $\angle ADE = \angle ACB$ (ambos están inscritos en el arco $AB$)
• $\angle DAE = \angle CAB$ (sale de $\angle BAE = \angle CAD$)

De $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ tienes: $$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB}$$ $$DE = \frac{AD \cdot BC}{AC}$$

Paso 4: Combina los resultados. $$BD = BE + ED = \frac{AB \cdot CD}{AC} + \frac{AD \cdot BC}{AC} = \frac{AB \cdot CD + AD \cdot BC}{AC}$$

Por lo tanto: $$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$$ $\square$