K = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)).
La Fórmula de Brahmagupta es un teorema fundamental en la geometría euclidiana que determina el área de un cuadrilátero cíclico dadas las longitudes de sus cuatro lados. Un cuadrilátero cíclico es un polígono de cuatro lados cuyos vértices están todos sobre una misma circunferencia. Esta fórmula es una generalización directa de la Fórmula de Heron para el área de un triángulo; de hecho, si haces que un lado del cuadrilátero cíclico sea cero, la figura se convierte en un triángulo y la Fórmula de Brahmagupta se reduce a la Fórmula de Heron.
La importancia de esta fórmula está en que te permite calcular el área basándote solo en las longitudes de los lados, sin que necesites conocer los ángulos internos o las longitudes de las diagonales, siempre y cuando el cuadrilátero sea cíclico. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, como el AIME o la USAMO, esta fórmula suele ser la clave para resolver problemas de polígonos inscritos donde cazar ángulos es difícil o imposible. También sirve como un paso fundamental para teoremas más avanzados, como la Fórmula de Bretschneider (para cuadriláteros generales) y la fórmula de Parameshvara para el circunradio.
Intuitivamente, un cuadrilátero con longitudes de lado fijas no tiene un área fija; el marco es "flexible". Sin embargo, obligar a que los vértices estén en un círculo maximiza el área para esas longitudes de lado