El resultado es otra homotecia o una traslación.
La composición de dos homotecias es un concepto fundamental en la geometría de transformaciones, y es súper útil en problemas de olimpiada que involucran varios círculos o colinealidad. Una homotecia $H(O, k)$ es una transformación con centro en $O$ y razón $k$ que lleva un punto $P$ a $P'$ de tal forma que $\vec{OP'} = k\vec{OP}$. Cuando aplicas una homotecia seguida de otra, y la escribes como $H_2 \circ H_1$, el producto de sus razones determina la transformación resultante.
Lo importante geométricamente de esta composición es cómo clasificas la transformación resultante. Si el producto de las razones $k_1 k_2 \neq 1$, la composición es una única homotecia. Si $k_1 k_2 = 1$, la composición es una traslación. Este resultado te da una herramienta muy potente para demostrar que tres puntos son colineales (los centros de las tres homotecias involucradas en un ciclo de composición) o que ciertas rectas son concurrentes. Es la base teórica del Teorema de Monge (Teorema de d'Alembert) sobre los centros de similitud de tres círculos.
Intuitivamente, como una homotecia lleva un segmento de recta a otro paralelo, si aplicas dos homotecias seguidas vas a mantener este paralelismo. Por lo tanto, la transformación total tiene que llevar