2 ¿Para qué valores enteros positivos de $x$ es $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 3x + 31$ un cuadrado perfecto?

3 Para números $a,b \in \mathbb{R}$ consideramos los conjuntos: $$A=\{a^n | n \in \mathbb{N}\} , B=\{b^n | n \in \mathbb{N}\}$$ Halle todos los $a,b > 1$ para los cuales existen dos polinomios reales no constantes $P,Q$ con coeficientes principales positivos tales que para cada $r \in \mathbb{R}$ : $$ P(r) \in A \iff Q(r) \in B$$

5 En un tablero de $16 x 16$, se colocan $25$ monedas, como en la figura. Se permite seleccionar $8$ filas y $8$ columnas y retirar del tablero todas las monedas que estén en esas $16$ líneas. Determina si es posible retirar todas las monedas del tablero. Si la respuesta es sí, indica las $8$ filas y $8$ columnas seleccionadas, y si es no, explica por qué.

Para un entero positivo $n$, denota $F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) = 1 + x_1 + x_1x_2 + \cdots +x_1x_2\ldots x_n$. Para cualesquiera números reales $x_1\geq x_2 \geq \ldots \geq x_k \geq 0$, demuestra que \[ \prod_{i=1}^k F_i(x_{k-i+1},x_{k-i+2},\ldots,x_k) \geq \prod_{i=1}^k F_i(x_i,x_i,\ldots,x_i)\]

C4 Sea $n$ un entero positivo. Para un conjunto $S$ de $n$ números reales, sea $f(S)$ el número de progresiones aritméticas crecientes de longitud al menos dos cuyos términos están todos en $S$. Demuestra que, si $S$ es un conjunto de $n$ números reales, entonces \[ f(S) \leq \frac{n^2}{4} + f(\{1,2,\ldots,n\})\]

Un entero positivo se llama piola si el $9$ es el residuo que se obtiene al dividirlo por $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$ y sus dígitos son todos distintos y distintos de cero. ¿Cuántas piolas hay entre $1$ y $100000$?

A2 Un entero positivo $n$ es tripariable si es posible particionar el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ en pares disjuntos tales que la suma de los dos elementos de cada par sea una potencia de $3$ . Por ejemplo $6$ es tripariable porque $\{1, 2, \dots, n\}=\{1,2\}\cup\{3,6\}\cup\{4,5\}$ y $$1+2=3^1,\quad 3+6 = 3^2\quad\text{y}\quad4+5=3^2$$ son todas potencias de 3. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales que 2024 son tripariables?

3 En el número $1010... 101$ los unos y ceros alternan; si hay $n$ unos, hay $n -1$ ceros ($n \ge 2$). Determina los valores de $n$ para los cuales el número $1010... 101$, que tiene $n$ unos, es primo.

A2 Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(x) + f(y) + f(z) = f(xyz)$ para cualesquiera números reales $x, y, z$ con $x + y + z = 1$.

4 En un triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos de los lados \(BC\) y \(AC\), respectivamente. Los segmentos \(AD\) y \(BE\) se intersectan en \(O\). Supón que la línea que une los puntos medios del triángulo y es paralela a \(AB\), biseca al segmento \(DE\). Demuestra que el triángulo \(ABO\) y el cuadrilátero \(ODCE\) tienen áreas iguales.