11 En el plano cartesiano se da un polígono $P$ cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Demuestre que si la longitud de cada lado de $P$ es un entero impar, entonces la superficie de $P$ no puede ser particionada en rectángulos de $2\times 1$.

44 ¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que pueden colocarse dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1 \ ?$ Amir

9 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$, encuentre $n$.

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

7 Resuelva el siguiente sistema para $x,y,z$ reales: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x+ y -z & =& 4 \\ x^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\ xyz & =& 6. \end{array} \right. \]

9 El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ y su incírculo toca el lado $BC$ en $T$. La recta que pasa por $T$ y es paralela a $IA$ corta al incírculo nuevamente en $S$, y la tangente al incírculo en $S$ corta a $AB$ y $AC$ en los puntos $C'$ y $B'$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $AB'C'$ es semejante al triángulo $ABC$.

8 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

10 Para cualquier entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$. Determine el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$.

13 Sea $n\geq 3$ y $A_1,A_2,\ldots,A_n$ puntos en un círculo. Encuentre el mayor número de triángulos acutángulos que pueden considerarse con vértices en estos puntos. G. Eckstein Valentin

40 Para un número real positivo $p$, encuentre todas las soluciones reales de la ecuación \[\sqrt{x^2 + 2px - p^2} -\sqrt{x^2 - 2px - p^2} =1.\] Amir