Asignar masas a los vértices para calcular razones entre segmentos.
La Geometría de Masas (MPG, por sus siglas en inglés) es una herramienta súper potente para resolver problemas que se usa principalmente en geometría euclidiana para calcular razones de longitudes de segmentos y áreas en triángulos y tetraedros. El método aplica principios de física —específicamente de estática y centro de masa— a figuras geométricas. Si asignas "masas" específicas a los vértices de un triángulo, puedes reducir problemas complejos de cevianas (segmentos que conectan un vértice con el lado opuesto) que se cruzan a simples cálculos aritméticos. Esta técnica es muy efectiva para problemas que, de otra forma, requerirían aplicar el Teorema de Ceva o el Teorema de Menelaus varias veces.
La intuición básica se basa en la Ley de la Palanca de Archimedes: dos masas puntuales se equilibran en un punto de apoyo si y solo si el producto de la masa por su distancia al punto de apoyo es igual para ambos puntos. En el contexto de un triángulo, si las cevianas se cruzan en un solo punto (el centro de masa), puedes ponerle pesos a los vértices de tal forma que cada ceviana funcione como una palanca que equilibra los dos lados que conecta. El punto de intersección de las cevianas actúa como el centro de masa de todo el sistema.
La MPG se usa muchísimo en concursos como el AMC 12 y el AIME cuando un problema te pide la razón de las longitudes de segmentos creados por líneas