Usando semejanza de triángulos o inversión.
El Teorema de Ptolomeo es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que te da una relación entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. Específicamente, te dice que si tienes un cuadrilátero inscrito en un círculo, el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus lados opuestos. Este teorema no solo es una condición necesaria para que un cuadrilátero sea cíclico, sino que también es suficiente; si notas que la igualdad se cumple para un cuadrilátero convexo, entonces sus vértices están sobre un mismo círculo.
En las olimpiadas de matemáticas, como el AMC 12, AIME y USAMO, el Teorema de Ptolomeo es una herramienta esencial. Lo vas a usar seguido para calcular la longitud de una diagonal cuando ya conoces los lados, o para sacar identidades trigonométricas de forma geométrica (como la fórmula del seno de una suma). Aunque el teorema aplica estrictamente a cuadriláteros cíclicos, es un caso especial de la Desigualdad de Ptolomeo, que te dice que para cualquier cuadrilátero, el producto de las diagonales es menor o igual a la suma de los productos de los lados opuestos, y la igualdad solo se cumple si el cuadrilátero es cíclico.