Recta de Euler

Teoría

La Recta de Euler es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que dice que para cualquier triángulo que no sea equilátero, el ortocentro ($H$), el baricentro ($G$) y el circuncentro ($O$) son colineales. A la recta que pasa por estos tres puntos la llamamos la Recta de Euler. En el caso especial de un triángulo equilátero, estos tres puntos coinciden y la recta no está definida. Las posiciones relativas de estos centros son fijas: el baricentro siempre queda entre el ortocentro y el circuncentro.

Este concepto es básico en las olimpiadas de matemáticas, especialmente en el AIME y el USAMO, porque conecta los tres centros más importantes del triángulo mediante una relación lineal simple. La vas a usar seguido para resolver problemas de geometría vectorial, homotecia o cálculos que piden la distancia entre los centros del triángulo. Además, la Recta de Euler contiene otros puntos notables; el más importante es el centro de la Circunferencia de los Nueve Puntos ($N$), que está justo en el punto medio del segmento $OH$.

La intuición detrás de la Recta de Euler viene de la geometría del triángulo medial. El triángulo medial (el que formas con los puntos medios de los lados) es la imagen del triángulo original bajo una homotecia con centro en el baricentro $G$ y razón $-1/2$. Como el circuncentro del triángulo original corresponde al ortocentro del triángulo medial, la homotecia mapea $H$ a