El punto que está a la misma distancia de los vértices.
El circuncentro de un triángulo, que normalmente escribimos como $O$, es el punto donde se cruzan las tres mediatrices de los lados del triángulo. Geométricamente, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de los extremos de ese segmento. Como el circuncentro está en las mediatrices de los tres lados al mismo tiempo, tiene la propiedad única de estar a la misma distancia de los tres vértices del triángulo ($OA = OB = OC$).
Este punto sirve como el centro del circuncírculo (el círculo que pasa por los tres vértices), y esa distancia común de $O$ a los vértices es el circunradio, que llamamos $R$. En las olimpiadas de matemáticas, este concepto es vital para pasar de restricciones lineales (perpendicularidad, puntos medios) a propiedades cíclicas. Te permite aprovechar las propiedades de los triángulos isósceles que se forman con el circuncentro y los vértices (por ejemplo, el $\triangle OBC$ es isósceles con $OB=OC=R$).
Un truco clave para resolver problemas con el circuncentro es fijarte en dónde está respecto al triángulo, lo cual depende de sus ángulos. Si el $\triangle ABC$ es acutángulo, $O$ está dentro del triángulo. Si el $\triangle ABC$ es obtusángulo, $O$ queda afuera. Algo súper importante: si el $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo, $O$ es el punto medio de la hipotenusa. Este caso aparece mucho en exámenes como el AMC y el AIME, porque te permite calcular el circunradio de volada como la mitad de la hipotenusa.
Propiedad Fundamental Si $O$ es el circuncentro del $\triangle ABC$, entonces: $$OA = OB = OC = R$$ donde $R$ es el circunradio.
Teorema de la Mediatriz Para cualquier punto $P$ y segmento $AB$, $P$ está en la mediatriz de $AB$ si y solo si: $$PA = PB$$
Ley de Senos Extendida La relación entre las longitudes de los lados, los ángulos y el circunradio es: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
Circunradio mediante el Área Si conoces el área del triángulo $K$ y las longitudes de los lados $a, b, c$: $$R = \frac{abc}{4K}$$
Geometría Analítica Si los vértices son $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$, el circuncentro $(x, y)$ es la solución al sistema de ecuaciones que sale de: $$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$$
Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cruzan en un punto $O$, que está a la misma distancia de todos los vértices.
Demostración: Toma un triángulo $\triangle ABC$. Llama $\ell_{AB}$, $\ell_{BC}$ y $\ell_{AC}$ a las mediatrices de los lados $AB$, $BC$ y $AC$ respectivamente.
Intersección de dos mediatrices: Considera las mediatrices $\ell_{AB}$ y $\ell_{BC}$. Como los lados $AB$ y $BC$ no son paralelos (se juntan en el vértice $B$), las líneas perpendiculares a ellos tampoco son paralelas. Por eso, $\ell_{AB}$ y $\ell_{BC}$ tienen que cruzarse en un único punto. Llama a este punto $O$.
Distancia igual a los vértices: Como $O$ está en $\ell_{AB}$, por la propiedad de las mediatrices, $O$ está a la misma distancia de los extremos $A$ y $B$: $$OA = OB$$ De la misma forma, como $O$ está en $\ell_{BC}$, está a la misma distancia de los extremos $B$ y $C$: $$OB = OC$$
Transitividad: Usando las dos ecuaciones de arriba y la propiedad transitiva de la igualdad, tienes que: $$OA = OC$$
Concurrencia: Como $OA = OC$, el punto $O$ está a la misma distancia de $A$ y $C$. Por el inverso del teorema de la mediatriz, cualquier punto que esté a la misma distancia de los extremos de un segmento tiene que estar en su mediatriz. Entonces, $O$ a fuerza está en $\ell_{AC}$.
Conclusión: El punto $O$ está en las tres mediatrices ($\ell_{AB}$, $\ell_{BC}$ y $\ell_{AC}$). Así que las mediatrices se cruzan en $O$, y $OA = OB = OC$.
$\square$