Puntos de la Circunferencia de los Nueve Puntos

Teoría

La Circunferencia de los Nueve Puntos (que también conocemos como el Círculo de Feuerbach o el Círculo de Euler) es una construcción geométrica increíble que puedes encontrar en cualquier triángulo. Como su nombre lo dice, la definen nueve puntos específicos que siempre son concíclicos (o sea, que están en la misma circunferencia), sin importar la forma del triángulo. Estos nueve puntos consisten en tres conjuntos distintos: los puntos medios de los tres lados, los pies de las tres alturas y los puntos medios de los segmentos que conectan el ortocentro con cada vértice (a los que les decimos puntos de Euler).

Este concepto es fundamental en la geometría de olimpiadas porque sirve como un puente entre varios centros importantes del triángulo. El centro de la circunferencia de los nueve puntos está exactamente en el punto medio del segmento de la recta de Euler que conecta el ortocentro con el circuncentro. Además, que esta circunferencia exista implica una simetría muy profunda en la estructura del triángulo, algo que te va a servir mucho en problemas de homotecia. Específicamente, puedes ver a la circunferencia de los nueve puntos como la imagen del circuncírculo bajo una homotecia con centro en el ortocentro y razón $1/2$, o con centro en el gravicentro y razón $-1/2$.

Fórmulas Clave

Si tienes un triángulo $ABC$ con ortocentro $H$, circuncentro $O$ y circunradio $R$, los nueve