El resultado de aplicar varias homotecias.
La composición de homotecias es un concepto fundamental en la geometría de transformaciones, y trata sobre el resultado de aplicar una homotecia seguida de otra. Una homotecia (también conocida como dilatación o semejanza central) queda determinada por un centro $O$ y una razón $k$. Cuando compones dos homotecias, la transformación resultante conserva la propiedad básica de mapear rectas a rectas paralelas. Por lo tanto, la composición de dos homotecias es, por lo general, una única homotecia. En el caso específico donde el producto de las razones es $1$, la composición se convierte en una traslación.
Este concepto es súper útil en la geometría de olimpiada para demostrar colinealidad de puntos y concurrencia de rectas. La idea más importante de este tema es que los centros de las tres homotecias involucradas (las dos originales y la resultante) son colineales. Este hecho es el motor geométrico detrás del Teorema de Monge (Teorema de D'Alembert) sobre las tangentes externas e internas de tres circunferencias. Si ves una configuración de circunferencias o figuras semejantes como imágenes unas de otras bajo homotecias, puedes reducir problemas complejos de incidencia a simples manipulaciones algebraicas de razones y suma de vectores.
Intuitivamente, si escalas una figura por un factor $k_1$ desde un punto, y luego escalas el resultado por un factor $k_2$ desde un punto diferente, la figura final es semejante a