Eje Radical

Teoría

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Recuerda que la potencia de un punto $P$ respecto a una circunferencia $\omega$ con centro $O$ y radio $r$ la calculas con $\mathcal{P}(P, \omega) = OP^2 - r^2$. Geométricamente, si el punto $P$ está fuera de la circunferencia, este valor es igual al cuadrado de la longitud de la tangente desde $P$ a la circunferencia. Si las circunferencias se cortan, el eje radical es simplemente la recta que contiene a su cuerda común. Si las circunferencias son tangentes, el eje radical es la recta tangente común en el punto de contacto. Incluso si las circunferencias no se cortan, el eje radical existe como una recta real situada entre o fuera de las circunferencias.

Este concepto es una pieza clave en la geometría avanzada de olimpiadas porque transforma restricciones cuadráticas (puntos que están en circunferencias) en restricciones lineales (puntos que están en una recta). Una propiedad fundamental del eje radical es que siempre es una línea recta perpendicular a la línea que une los centros de las dos circunferencias. Esta propiedad la vas a usar muchísimo para demostrar que ciertos puntos son colineales o que algunas rectas son concurrentes.

Una de las aplicaciones más potentes de este concepto surge cuando consideras tres circunferencias. Los ejes radicales de tres circunferencias (tomadas en pares) se cortan en un solo punto llamado el