Se encuentra en la intersección de los círculos circunscritos.
Una semejanza espiral es una transformación que combina una rotación y una homotecia (dilatación) centradas en el mismo punto. Si tienes dos segmentos $AB$ y $CD$ en el plano tales que $AB \neq CD$ y $AB$ no es paralelo a $CD$, hay una única semejanza espiral que manda el segmento $AB$ al segmento $CD$ (llevando $A \to C$ y $B \to D$). El centro de esta transformación, que escribes como $O$, es el centro de la semejanza espiral. Encontrar este centro es una técnica súper potente en la geometría de olimpiada, sobre todo para problemas que tienen cuadriláteros cíclicos o para demostrar que ciertos triángulos son semejantes.
Puedes construir el centro de la espiral fijándote en la intersección de circuncírculos específicos. Si extiendes las líneas que conectan los puntos correspondientes ($AC$ y $BD$) hasta que se corten en un punto $X$, el centro $O$ es el segundo punto donde se cortan los circuncírculos de $\triangle ABX$ y $\triangle CDX$. Este punto $O$ es básicamente el Miquel Point del cuadrilátero completo formado por las cuatro líneas que definen los segmentos y sus conexiones.
La idea clave para esta construcción es que las semejanzas espirales mantienen la razón de las distancias y los ángulos. Si