PT² = PA·PA' para una tangente PT y una secante PAA' desde P.
El teorema de la potencia de la tangente y la secante es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que describe la relación entre los segmentos de recta que se crean cuando dibujas una tangente y una secante a un círculo desde un punto externo. Específicamente, si una tangente toca al círculo en el punto $T$ y una línea secante corta al círculo en dos puntos $A$ y $A'$, el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante externo y el segmento secante completo. Esta relación es un caso específico del teorema de la Potencia de un Punto.
Este concepto aparece por todos lados en competencias de matemáticas como el AMC 12 y el AIME porque sirve como un puente entre medidas lineales y propiedades circulares. Se usa seguido para encontrar longitudes que faltan en configuraciones geométricas o para establecer relaciones algebraicas entre segmentos. Además, el inverso de este teorema es una herramienta poderosa para demostrar que una línea es tangente a un círculo; si la relación geométrica se cumple, el segmento que toca al círculo tiene que ser tangente.
De forma intuitiva, puedes ver el teorema de la tangente y la secante como un caso límite del teorema de las dos secantes. Si tienes dos secantes $PBB'$ y $PAA'$, sabes que $PB \cdot PB' = PA \cdot PA'$. A medida que la línea secante $PBB'$ gira hasta que los puntos $B$ y $B'$ se juntan en un solo punto $T$, el producto $PB \cdot PB'$ se convierte en $PT \cdot PT$, o sea $PT^2$.