Ángulos en el mismo arco

Teoría

El concepto de "Ángulos en el mismo arco" es un corolario del Teorema del Ángulo Inscrito y te sirve como una herramienta fundamental en la geometría euclidiana, especialmente para la "persecución de ángulos" (angle chasing) en problemas de olimpiada. Un ángulo inscrito es un ángulo formado por dos cuerdas en un círculo que tienen un punto final común en el círculo. El teorema dice que si dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco, sus medidas son iguales. Visualmente, esto suele crear una forma de "moño" o "mariposa" donde los vértices de los ángulos están en el círculo y los ángulos se "abren" hacia la misma cuerda o arco.

Esta propiedad es crucial porque te permite mover información angular por todo un diagrama libremente. Si cuatro puntos $A, B, P, Q$ están en un círculo de tal forma que $P$ y $Q$ están del mismo lado de la línea $AB$, vas a ver que se cumple la igualdad $\angle APB = \angle AQB$. Por el contrario, esta propiedad es el método principal que usas para demostrar que cuatro puntos son concíclicos (que están en el mismo círculo). Si puedes demostrar que dos puntos subtienden ángulos iguales con respecto a un segmento que une a otros dos puntos, entonces los cuatro puntos están en un círculo.

Intuitivamente, puedes imaginar que el vértice del ángulo se mueve a lo largo de la circunferencia del círculo. Mientras el vértice se mantenga en el mismo arco mayor relativo a la cuerda que subtiende, el "ángulo de visión" de esa cuerda se mantiene constante. Esta invarianza es una restricción poderosa que conecta la geometría de los círculos con el álgebra de los ángulos, y aparece seguido en competencias que van desde el AMC 8 hasta la USAMO.

Fórmulas Clave

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $O$. Sean $A$ y $B$ puntos distintos en $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ puntos en $\Gamma$ de tal forma que estén en el mismo arco definido por la cuerda $AB$ (normalmente el arco mayor).

El Teorema de los Ángulos en el mismo arco: $$ \angle APB = \angle AQB $$

Relación con la medida del arco: Ambos ángulos son iguales a la mitad de la medida del arco interceptado $\stackrel{\frown}{AB}$: $$ \angle APB = \angle AQB = \frac{1}{2} \text{m}\stackrel{\frown}{AB} $$

Relación con el ángulo central: Si $O$ es el centro del círculo: $$ \angle APB = \angle AQB = \frac{1}{2} \angle AOB $$ (Nota: Esto aplica cuando $\angle AOB < 180^\circ$ y $P, Q$ están en el arco mayor).

Inverso (Condición para puntos concíclicos): Dados cuatro puntos $A, B, P, Q$ tales que $P$ y $Q$ están del mismo lado de la línea $AB$: $$ \text{Si } \angle APB = \angle AQB, \text{ entonces } A, B, P, Q \text{ son concíclicos.} $$

Demostración

Teorema: En un círculo, los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes.

Dado: Un círculo con centro $O$. Puntos $A$ y $B$ en el círculo que forman el arco $\stackrel{\frown}{AB}$. Puntos $P$ y $Q$ en el arco mayor de $AB$. Lo que hay que demostrar: $\angle APB = \angle AQB$.

Demostración:

1. Traza los radios: Dibuja los radios $OA$ y $OB$ desde el centro $O$ hasta los extremos de la cuerda $AB$. Sea $\angle AOB$ el ángulo central que subtiende el arco menor $\stackrel{\frown}{AB}$.

2. Aplica el Teorema del Ángulo Inscrito a $\angle APB$: El Teorema del Ángulo Inscrito dice que la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de su ángulo central interceptado. Como $\angle APB$ subtiende el arco $\stackrel{\frown}{AB}$: $$ \angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB $$

3. Aplica el Teorema del Ángulo Inscrito a $\angle AQB$: De la misma forma, el ángulo inscrito $\angle AQB$ también subtiende el mismo arco $\stackrel{\frown}{AB}$. Por lo tanto: $$ \angle AQB = \frac{1}{2} \angle AOB $$

4. Transitividad: Como tanto $\angle APB$ como $\angle AQB$ son iguales a la misma cantidad ($\frac{1}{2} \angle AOB$), tienen que ser iguales entre sí. $$ \angle APB = \angle AQB $$

5. Conclusión: Así, los ángulos que subtienden el mismo arco en la circunferencia son iguales.

$\square$