Potencia de la Tangente y la Secante

Teoría

El teorema de la potencia de la tangente y la secante es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que describe la relación entre las longitudes de los segmentos de línea que aparecen cuando una tangente y una secante se cruzan en un punto fuera de un círculo. Para ser más específicos, si tienes un segmento tangente que toca al círculo en el punto $T$ y una línea secante que corta al círculo en los puntos $A$ y $B$, y ambos salen desde un punto externo $P$, el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante externo y el segmento secante completo.

Este teorema es un caso específico del teorema más general de la potencia de un punto. Te sirve como un puente súper importante entre medidas lineales y propiedades del círculo, y muchas veces te deja calcular longitudes desconocidas sin que tengas que calcular el radio o la ubicación del centro del círculo directamente. Lo vas a usar muchísimo en competencias como el AMC 12 y el AIME para resolver problemas que involucran cuadriláteros cíclicos, triángulos semejantes escondidos en círculos y configuraciones donde hay líneas tangentes a circuncírculos.

De forma intuitiva, puedes ver este teorema como un caso límite del teorema de la potencia de dos secantes ($PA \cdot PB = PC \cdot PD$). Imagina una línea secante que corta un círculo en dos puntos distintos. Conforme la secante gira y se aleja del centro del círculo, los dos puntos de intersección se van acercando. Cuando la línea se vuelve tangente al círculo, los dos puntos se fusionan en un solo punto de tangencia, $T$. Por lo tanto, el producto de los segmentos se vuelve $PT \cdot PT$, o sea $PT^2$.

Fórmulas Clave

Si tienes un punto $P$ afuera de un círculo, una línea que pasa por $P$ y es tangente al círculo en $T$, y una línea que pasa por $P$ y corta al círculo en los puntos $A$ y $B$ (donde $A$ está entre $P$ y $B$):

$$PT^2 = PA \cdot PB$$

Variables:

• $PT$: La longitud del segmento tangente.
• $PA$: La longitud del segmento secante externo.
• $PB$: La longitud de todo el segmento secante ($PB = PA + AB$).

Relación con el Centro: Si $O$ es el centro del círculo con radio $r$, y $d$ es la distancia $OP$, la potencia del punto $P$ también la definimos como: $$PT^2 = PA \cdot PB = d^2 - r^2$$

Demostración

Teorema: Toma un punto $P$ afuera de un círculo. Toma una tangente $PT$ al círculo en $T$, y haz que una secante que pasa por $P$ corte al círculo en $A$ y $B$, de tal forma que $A$ esté entre $P$ y $B$. Entonces $PT^2 = PA \cdot PB$.

Demostración: Para demostrar esta relación, usa semejanza de triángulos.

1. Construcción: Dibuja los segmentos de línea $TA$ y $TB$ para formar cuerdas dentro del círculo. Considera los triángulos $\triangle PTA$ y $\triangle PBT$.

2. Identifica ángulos iguales:

   • Ángulo común: El ángulo en el vértice $P$, escrito como $\angle TPA$ (o $\angle TPB$), lo comparten tanto el $\triangle PTA$ como el $\triangle PBT$.
   • Ángulo semi-inscrito: Por el teorema del segmento alterno (que también llamamos el teorema de la tangente y la cuerda), el ángulo entre una tangente y una cuerda que pasa por el punto de contacto es igual al ángulo en el segmento alterno. Por eso, el ángulo formado por la tangente $PT$ y la cuerda $TA$ es igual al ángulo inscrito que subtiende el arco $TA$. $$ \angle PTA = \angle TBP $$ Nota que $\angle TBP$ es lo mismo que $\angle PBT$.

3. Establece la semejanza: Como el $\triangle PTA$ y el $\triangle PBT$ comparten el $\angle P$ y tienen $\angle PTA = \angle PBT$, los triángulos son semejantes por el criterio AA (Ángulo-Ángulo). $$ \triangle PTA \sim \triangle PBT $$

4. Plantea las razones: Como los triángulos son semejantes, las razones de sus lados correspondientes son iguales. Específicamente, compara los lados opuestos al ángulo común $P$ y los lados opuestos a los ángulos iguales $\angle PBT$ y $\angle PTA$: $$ \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} $$

5. Conclusión: Al multiplicar de forma cruzada los términos, obtienes el resultado que querías: $$ PT \cdot PT = PA \cdot PB $$ $$ PT^2 = PA \cdot PB $$

$\square$