Los círculos se transforman en otros círculos o en rectas.
La inversión es una transformación geométrica poderosa que "voltea el plano de adentro hacia afuera" respecto a un círculo de referencia $\omega$ con centro $O$ y radio $R$. Aunque la inversión mapea puntos a puntos, su propiedad más importante en la geometría de olimpiada es su efecto sobre los círculos generalizados (círculos y líneas). La utilidad fundamental de la inversión está en su capacidad para simplificar restricciones topológicas: puede transformar círculos tangentes en líneas paralelas, mapear tres círculos que pasan por un punto común en tres líneas que forman un triángulo, o mapear una configuración compleja de círculos tangentes (como una Steiner chain) en un anillo concéntrico.
El comportamiento de un círculo bajo la inversión depende totalmente de si el círculo pasa por el centro de inversión, $O$. Si un círculo pasa por $O$, la inversión "rompe" el lazo cerrado en $O$ y manda ese punto al infinito, lo que resulta en una línea recta. Por el contrario, si un círculo no pasa por $O$, su inverso es un lazo cerrado que sigue siendo un círculo. Esta dualidad te permite transformar problemas que involucran círculos en problemas que involucran líneas, que a menudo son más fáciles de resolver usando homotecia o geometría euclidiana básica, antes de invertir de regreso a la configuración original.
Algo crucial es que la inversión es un mapeo conforme, lo que significa que preserva la magnitud de los ángulos entre curvas. Si dos círculos se intersectan en un ángulo $\theta$, sus inversos también se intersectarán en el ángulo $\theta$. Si un círculo es tangente a una línea (ángulo 0), sus inversos serán tangentes. Esta propiedad, combinada con la transformación de círculos a líneas, hace que la inversión sea una técnica dominante en problemas que involucran tangencias, como los que encuentras en la USAMO o la IMO.
Sea el círculo de inversión $\omega$ con centro $O$ y radio $R$. Sea $\Gamma$ un círculo con radio $r$ y centro $C$, y sea $d = OC$ la distancia desde el centro de inversión al centro de $\Gamma$.
1. Clasificación de las Imágenes El inverso de $\Gamma$, que escribimos como $\Gamma'$, depende de si $O$ está en $\Gamma$:
2. Radio del Círculo Invertido Si $\Gamma$ no pasa por $O$, el radio $r'$ del círculo invertido $\Gamma'$ lo obtienes con: $$r' = \frac{R^2 r}{|d^2 - r^2|}$$ donde $|d^2 - r^2|$ representa el valor absoluto de la potencia del punto $O$ respecto a $\Gamma$.
3. Centro del Círculo Invertido El centro del círculo invertido, $C'$, está sobre la línea $OC$. Sin embargo, nota que $C'$ no es el inverso del punto $C$. La relación es: $$OC' = \frac{R^2 d}{d^2 - r^2}$$ (Nota: Si $d < r$, $O$ está dentro de $\Gamma$, y el centro $C'$ se mueve al lado opuesto de $O$ respecto a $C$, lo cual se indica por el signo).
Teorema: Un círculo $\Gamma$ que no pasa por el centro de inversión $O$ se invierte en un círculo $\Gamma'$.
Demostración: Toma la inversión con centro en $O$ y radio $R$. Sea $\Gamma$ un círculo que no pasa por $O$.
Define el Diámetro: Traza una línea por $O$ que pase por el centro de $\Gamma$. Haz que esta línea intersecte a $\Gamma$ en los puntos $A$ y $B$. Como la línea pasa por el centro, $AB$ es un diámetro de $\Gamma$. Sean $A'$ y $B'$ los inversos de $A$ y $B$ respectivamente. Como $A, B$ son colineales con $O$, $A'$ y $B'$ están en la misma línea $OAB$.
Selecciona un Punto Arbitrario: Toma cualquier punto $P$ en $\Gamma$ que sea distinto de $A$ y $B$. Sea $P'$ el inverso de $P$. Por la definición de inversión: $$OA \cdot OA' = R^2 \quad \text{y} \quad OP \cdot OP' = R^2$$ Al igualar esto obtienes $OA \cdot OA' = OP \cdot OP'$, lo que implica: $$\frac{OA}{OP} = \frac{OP'}{OA'}$$
Semejanza de Triángulos: Considera los triángulos $\triangle OAP$ y $\triangle OP'A'$. Comparten el ángulo en $O$ (o son opuestos por el vértice), y los lados que incluyen este ángulo son proporcionales como se mostró arriba. Por lo tanto, $\triangle OAP \sim \triangle OP'A'$. De esta semejanza, deduces que: $$\angle OA'P' = \angle OPA$$ De forma similar, usando los puntos $B$ y $P$, tienes que $\triangle OBP \sim \triangle OP'B'$, lo que implica: $$\angle OB'P' = \angle OPB$$
Cálculo de Ángulos: En el círculo original $\Gamma$, $AB$ es un diámetro. Por lo tanto, para cualquier punto $P$ en el círculo, $\angle APB = 90^\circ$. Ahora examina el ángulo $\angle A'P'B'$ en la configuración invertida. Usando el teorema del ángulo exterior o la suma de ángulos en la configuración donde $O, A, B$ son colineales: $$\angle A'P'B' = |\angle OB'P' - \angle OA'P'|$$ Sustituyendo las igualdades del paso 3: $$\angle A'P'B' = |\angle OPB - \angle OPA| = \angle APB$$ (Nota: La relación exacta depende del orden de los puntos en la línea, pero la magnitud corresponde al ángulo subtendido por el diámetro).
Conclusión: Como $\angle APB = 90^\circ$, se sigue que $\angle A'P'B' = 90^\circ$. Como $A'$ y $B'$ son puntos fijos (determinados únicamente por el diámetro $AB$), y $P'$ es la imagen de un punto arbitrario en $\Gamma$, el lugar geométrico de $P'$ es tal que $\angle A'P'B'$ siempre es un ángulo recto. Por el converso del Thales's Theorem, el lugar geométrico de $P'$ es un círculo con diámetro $A'B'$.
Así, el inverso del círculo $\Gamma$ es un círculo $\Gamma'$. $\square$