Hexágono inscrito en una cónica.
El Teorema de Pascal es un resultado fundamental en la geometría proyectiva que describe una propiedad muy profunda de los hexágonos inscritos en secciones cónicas. El teorema dice que si tienes un hexágono inscrito en una cónica (lo más común en problemas de olimpiada es que sea una circunferencia), entonces los puntos de intersección de los tres pares de lados opuestos son colineales. A la recta que contiene estos tres puntos le decimos la Recta de Pascal. Este teorema es una generalización del Teorema del Hexágono de Pappus y es el dual proyectivo del Teorema de Brianchon.
En el contexto de competencias de matemáticas como la USAMO o la IMO, el Teorema de Pascal es una herramienta poderosísima para probar colinealidad. Algo muy importante que tienes que notar es que el "hexágono" no necesita ser convexo ni parecerse a un polígono normal. Puedes ordenar los vértices $A, B, C, D, E, F$ como quieras en la cónica. Si cambias el orden de los vértices, puedes generar diferentes Rectas de Pascal para el mismo conjunto de seis puntos, lo que te da varias condiciones de colinealidad.
Además, el teorema también funciona para casos "degenerados" donde los vértices coinciden. Si el vértice $B$ se mueve hasta coincidir con $A$, el lado $AB$ se convierte en la recta tangente a la cónica en $A$. Esto te permite usar el teorema