Transformaciones

Teoría

Las transformaciones geométricas son funciones que mapean puntos en un plano (o espacio) a otros puntos, moviendo o cambiando la forma de las figuras geométricas de manera efectiva. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, las transformaciones son herramientas poderosas que usas para simplificar configuraciones complejas. Generalmente las categorizamos en isometrías (o movimientos rígidos), que conservan distancias y ángulos (traslación, rotación, reflexión, reflexión con deslizamiento), y no isometrías, que pueden cambiar el tamaño pero conservan propiedades específicas como ángulos o incidencia de círculos (homotecia/dilatación, semejanza espiral, inversión).

La utilidad principal de las transformaciones está en su capacidad de mapear problemas difíciles a estados estándar que puedes resolver más fácil. Por ejemplo, una homotecia puede alinear las rectas de Euler de los triángulos o mapear el incírculo a los excírculos. La semejanza espiral es fundamental para resolver problemas que involucran círculos que se intersectan y cuadriláteros cíclicos (como la configuración del Punto de Miquel). La inversión es una técnica más avanzada que usas para "linealizar" problemas; transforma círculos que pasan por un punto específico en líneas rectas, convirtiendo problemas difíciles de tangencia (como los problemas de Apollonius o las cadenas de Steiner) en ejercicios triviales que involucran rectas.

Para dominar las transformaciones, tienes que desarrollar la intuición para "ver" el movimiento. En lugar de calcular longitudes directamente, busca un centro de rotación que mapee un triángulo a otro, o un centro de homotecia que alinee tres puntos colineales. En competencias avanzadas (USAMO/IMO), es común usar números complejos para representar estas transformaciones algebraicamente, donde la rotación corresponde a la multiplicación por un número complejo unitario, y la dilatación corresponde a la multiplicación por un escalar real.

Fórmulas Clave

1. Representaciones con Números Complejos Representa los puntos con números complejos $z$ en el plano de Argand.

• Traslación por el vector $v$: $$z' = z + v$$
• Homotecia con centro en $c$ y razón $k \in \mathbb{R}$: $$z' - c = k(z - c)$$
• Rotación con centro en $c$ y ángulo $\theta$: $$z' - c = e^{i\theta}(z - c)$$
• Semejanza espiral con centro en $c$, razón $k$ y ángulo $\theta$: $$z' - c = k e^{i\theta}(z - c)$$

2. Homotecia (Dilatación) Dado un centro $O$ y una razón $k$, mapeas un punto $P$ a $P'$ de tal forma que: $$\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$$

• Composición: La composición de dos homotecias con centros $O_1, O_2$ y razones $k_1, k_2$ es una homotecia con razón $k_1k_2$ centrada en la recta $O_1O_2$ (si $k_1k_2 \neq 1$), o una traslación (si $k_1k_2 = 1$).

3. Inversión Dado un centro $O$ y un radio $R$ (el radio del círculo de inversión $\omega$), mapeas un punto $P$ ($P \neq O$) a $P'$ en el rayo $\vec{OP}$ de tal forma que: $$OP \cdot OP' = R^2$$

• Fórmula de distancia en inversión: La distancia entre las imágenes $A', B'$ de los puntos $A, B$ es: $$A'B' = \frac{R^2 \cdot AB}{OA \cdot OB}$$
• Propiedades de mapeo:
  • Recta que pasa por $O$ $\to$ Recta que pasa por $O$ (ella misma).
  • Círculo que pasa por $O$ $\to$ Recta que no pasa por $O$.
  • Círculo que no pasa por $O$ $\to$ Círculo que no pasa por $O$.
  • La inversión es conforme (preserva los ángulos entre curvas, pero invierte la orientación).

Demostración

Teorema: Una inversión con centro en $O$ mapea un círculo que pasa por $O$ a una línea recta perpendicular al diámetro del círculo original que pasa por $O$.

Demostración:

Define la inversión con centro $O$ y radio $R$. Sea $\mathcal{K}$ un círculo que pasa por $O$.

1. Configuración: Toma $A$ como el punto en el círculo $\mathcal{K}$ diametralmente opuesto a $O$. Así, $OA$ es el diámetro de $\mathcal{K}$. Toma $P$ como un punto arbitrario en el círculo $\mathcal{K}$ distinto de $O$. Sean $A'$ y $P'$ las imágenes de $A$ y $P$ bajo la inversión, respectivamente.

2. Definición de inversión: Por la definición de inversión, los puntos $A'$ y $P'$ están en los rayos $\vec{OA}$ y $\vec{OP}$ respectivamente, y cumplen que: $$OA \cdot OA' = R^2$$ $$OP \cdot OP' = R^2$$

3. Semejanza: De las ecuaciones de arriba, tienes que $OA \cdot OA' = OP \cdot OP'$, lo cual puedes reacomodar como: $$\frac{OA}{OP} = \frac{OP'}{OA'}$$ Considera el $\triangle OAP$ y el $\triangle OP'A'$. Comparten el ángulo $\angle AOP$ (o $\angle A'OP'$). Como los lados que forman el ángulo común son proporcionales ($\frac{OA}{OP} = \frac{OP'}{OA'}$), concluyes que: $$\triangle OAP \sim \triangle OP'A'$$

4. Mapeo de ángulos: Como $\triangle OAP \sim \triangle OP'A'$, los ángulos correspondientes son iguales. Específicamente: $$\angle OA'P' = \angle OPA$$

5. Propiedad geométrica del círculo $\mathcal{K}$: Como $OA$ es el diámetro del círculo $\mathcal{K}$ y $P$ está en $\mathcal{K}$, el ángulo subtendido por el diámetro en la circunferencia es un ángulo recto. $$\angle OPA = 90^\circ$$

6. Conclusión: Si sustituyes esto en el resultado de la semejanza: $$\angle OA'P' = 90^\circ$$ Aquí, $O$ es el centro fijo de inversión y $A'$ es la imagen fija del extremo del diámetro $A$. Mientras $P$ varía a lo largo del círculo $\mathcal{K}$, $P'$ varía de tal forma que el ángulo $\angle OA'P'$ se mantiene en $90^\circ$.

   El lugar geométrico de los puntos $P'$ tales que $\angle OA'P' = 90^\circ$ es la línea recta que pasa por $A'$ y es perpendicular a la recta $OA'$.

   Por lo tanto, la inversión transforma el círculo $\mathcal{K}$ que pasa por $O$ en una línea recta. $\square$