Ortocentro

Teoría

El ortocentro de un triángulo, que normalmente verás como $H$, es el punto donde concurren las tres alturas. Una altura es un segmento de recta que sale de un vértice y es perpendicular al lado opuesto (o a la recta que contiene a ese lado). Dónde está el ortocentro depende de qué tipo de triángulo tengas: queda adentro si el triángulo es acutángulo, afuera si es obtusángulo, y coincide con el vértice del ángulo recto si es un triángulo rectángulo.

El ortocentro es un objeto fundamental en la geometría de olimpiadas porque genera un montón de cuadriláteros cíclicos. Los pies de las alturas y el ortocentro crean el "triángulo órtico", y la relación entre $H$ y los vértices del triángulo forma un sistema ortocéntrico. Un dato clave es que el conjunto de puntos ${A, B, C, H}$ es simétrico; si $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$, entonces $A$ es el ortocentro de $\triangle HBC$. Esta simetría te permite hacer "angle chasing" (cacería de ángulos) de forma muy potente e identificar cuadriláteros cíclicos fácilmente.

Además, el ortocentro tiene una relación especial con el circuncírculo. El teorema de las "Reflexiones del Ortocentro" dice que si reflejas $H$ sobre cualquier lado del triángulo, el punto resultante cae en el circuncírculo del triángulo. De la misma forma, si reflejas $H$ sobre el punto medio de cualquier lado, también obtienes un punto en el circuncírculo (específicamente, el punto diametralmente opuesto al vértice). Estas propiedades hacen que el ortocentro sea un punto clave en problemas que involucran el circuncírculo, el círculo de los nueve puntos y la recta de Euler.

Fórmulas Clave

Imagina que el triángulo $\triangle ABC$ tiene ortocentro $H$, circunradio $R$ y ángulos $A, B, C$. Sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ a los lados $BC, CA, AB$ respectivamente.

Relaciones de ángulos: Los ángulos que se forman entre el ortocentro y los vértices son suplementarios a los ángulos del triángulo: $$ \angle BHC = 180^\circ - A, \quad \angle AHC = 180^\circ - B, \quad \angle AHB = 180^\circ - C $$ Esto implica que los cuadriláteros $ABDE$, $BCEF$ y $CAFD$ son cíclicos.

Distancias: La distancia de un vértice al ortocentro se calcula así: $$ AH = 2R \cos A, \quad BH = 2R \cos B, \quad CH = 2R \cos C $$

Potencia del Ortocentro: Como $H$ es la intersección de cuerdas en varios cuadriláteros cíclicos: $$ AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF $$

Reflexiones del Ortocentro: Si $H'$ es la reflexión de $H$ respecto al lado $BC$, y $M$ es el punto medio de $BC$, entonces:

1. $H'$ está en el circuncírculo de $\triangle ABC$.
2. La reflexión de $H$ respecto a $M$ es el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo.

Recta de Euler: El ortocentro $H$, el gravicentro $G$ y el circuncentro $O$ son colineales. El gravicentro divide al segmento $HO$ en una razón de $2:1$: $$ HG = 2GO $$

Demostración

Teorema: Las tres alturas de un triángulo concurren en un punto.

Demostración: Toma el triángulo $\triangle ABC$. La idea es construir un triángulo más grande $\triangle A'B'C'$ de tal forma que las alturas de $\triangle ABC$ sean las mediatrices de los lados de $\triangle A'B'C'$. Como ya sabes que las mediatrices de cualquier triángulo siempre concurren (en el circuncentro), esto probará que las alturas de $\triangle ABC$ también concurren.

Paso 1: Construcción Traza una recta que pase por $A$ y sea paralela a $BC$. Traza una recta que pase por $B$ y sea paralela a $AC$. Traza una recta que pase por $C$ y sea paralela a $AB$. Deja que estas rectas se crucen para formar el triángulo $\triangle A'B'C'$, donde $A'$ queda opuesto a $A$, $B'$ opuesto a $B$ y $C'$ opuesto a $C$.

Paso 2: Paralelogramos y puntos medios Fíjate en el cuadrilátero $ABCB'$. Por la construcción, $AB' \parallel BC$ y $B'C \parallel AB$. Así que $ABCB'$ es un paralelogramo, lo que significa que $AB' = BC$. De la misma forma, mira el cuadrilátero $ACBC'$. Por la construcción, $AC' \parallel BC$ y $C'B \parallel AC$. Entonces $ACBC'$ es un paralelogramo, lo que implica que $AC' = BC$.

Combinando estos resultados: $$ AB' = BC = AC' $$ Como $A$ está en el segmento $B'C'$ y $AB' = AC'$, entonces $A$ es el punto medio de $B'C'$. Siguiendo la misma lógica, $B$ es el punto medio de $A'C'$ y $C$ es el punto medio de $A'B'$.

Paso 3: Perpendicularidad Sea $AD$ la altura desde $A$ hacia $BC$ en el triángulo original $\triangle ABC$. Por definición, $AD \perp BC$. Como la recta $B'C'$ es paralela a $BC$, y $AD$ es perpendicular a $BC$, se sigue que $AD$ también es perpendicular a $B'C'$.

Paso 4: Conclusión Por el Paso 2, sabes que $A$ es el punto medio de $B'C'$. Por el Paso 3, la recta que contiene a la altura $AD$ es perpendicular a $B'C'$. Por lo tanto, la altura desde $A$ en $\triangle ABC$ cae justo sobre la mediatriz del lado $B'C'$ del triángulo $\triangle A'B'C'$.

Si aplicas este mismo razonamiento a los tres vértices, verás que las tres alturas de $\triangle ABC$ son exactamente las tres mediatrices de $\triangle A'B'C'$. Como las mediatrices de un triángulo siempre se cortan en un solo punto (el circuncentro de $\triangle A'B'C'$), las alturas de $\triangle ABC$ también tienen que cortarse en ese mismo punto.

Así, queda probado que las alturas son concurrentes. $\square$