La suma de las distancias es constante.
La propiedad geométrica que define a una elipse se basa en sus focos (el plural de foco). Definimos una elipse como el lugar geométrico de todos los puntos $P$ en un plano tales que la suma de las distancias de $P$ a dos puntos fijos, $F_1$ y $F_2$, es una constante. Estos dos puntos fijos son los focos de la elipse. Si la distancia entre los focos es $2c$, la suma constante debe ser estrictamente mayor que $2c$ para formar una elipse no degenerada. Geométricamente, esta suma constante es igual a la longitud del eje mayor, que escribimos como $2a$.
En las matemáticas de competencia, como el AMC 12 y el AIME, la definición focal suele ser más poderosa que la ecuación de coordenadas $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Los problemas que involucran minimización de trayectorias (usando la desigualdad del triángulo), lugares geométricos o construcciones geométricas específicas a menudo dependen de la identidad $PF_1 + PF_2 = 2a$. Reconocer esta propiedad te permite saltarte manipulaciones algebraicas complejas al usar la geometría intrínseca de la figura, especialmente en problemas donde la elipse está rotada o no está centrada en el origen.
La relación entre el semieje mayor $a$, el semieje menor $b$